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Diagonalisieren  

Ähnliche Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{C}$ haben die gleichen Eigenwerte und besitzen (unter Berücksichtigung des Basiswechsels) die gleichen Eigenvektoren:

Ist $\mathsfbf{x}$ ein Eigenvektor von $\mathsfbf{A}$ zum Eigenwert $\lambda$, dann ist $\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf{x}$ Eigenvektor von $\mathsfbf{C}$ zum gleichen Eigenwert:

Für die Eigenvektoren gilt:

$$\begin{array} {rcl} \mathsfbf{C}(\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf... ...mathsfbf{x} =\lambda(\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf{x})\end{array}$$

(Matrizen mit gleichen Eigenwerten müssen aber nicht notwendigerweise ähnlich sein.)

Wir wählen für unsere Abbildung eine Basis, sodaß die entsprechende Matrix $\mathsfbf{A}$ möglichst einfach wird. Die einfachsten Matrizen sind Diagonalmatrizen.

Können wir immer eine Darstellung durch eine Diagonalmatrix finden?

M.a.W.: Ist $\mathsfbf{A}$ ähnlich einer Diagonalmatrix?

Wir beschränken uns hier auf symmetrische Matrizen.  

DEFINITION (SYMMETRISCHE MATRIX)
Eine $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}$ heißt  symmetrisch, falls

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{A}^t=\mathsfbf{A}$}}$

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix $\mathsfbf{A}$ haben folgende wichtige Eigenschaften:

• Alle $n$ Eigenwerte sind reell.
• Die Eigenvektoren $\mathsfbf{x}_i$ zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda_i$ sind orthogonal, d.h. $\mathsfbf{x}_i^t\cdot\mathsfbf{x}_j=0$ falls $i\not=j$.
• Es gibt eine Orthonormalbasis $\{\mathsfbf{f}_1,\ldots,\mathsfbf{f}_n\}$ aus Eigenvektoren für den ${\mathbb R}^n$, d.h. die $\mathsfbf{f}_i$ sind orthogonal und haben Länge 1.

Betrachten wir die Transformationsmatrix $\mathsfbf{U}=(\mathsfbf{f}_1,\ldots,\mathsfbf{f}_n)$.Wegen der Orthonormiertheit gilt

$\mathsfbf{U}^t\cdot\mathsfbf{U}=\mathsfbf{I}$ $\qquad\Leftrightarrow\qquad$ $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{U}^{-1}=\mathsfbf{U}^t$}}$

Für jeden Einheitsvektor $\mathsfbf{e}_i$ gilt daher

$$\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U}\mathsfbf{e}_i =\m... ...mbda_i\,\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{f}_i =\lambda_i\mathsfbf{e}_i$$

Also

$$\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U} = \mathsfbf{D} =\... ...\cr \vdots & & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \ldots & \lambda_n }$$

Jede symmetrische Matrix ist somit ähnlich zu einer Diagonalmatrix.

Jede symmetrische Matrix wird bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu einer Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von $\mathsfbf{A}$ sind. Man nennt diesen Vorgang  Diagonalisieren.

Viele -- aber nicht alle -- nichtsymmetrischen Matrizen lassen sich ebenfalls Diagonalisieren.

BEISPIEL
Wir wollen $\mathsfbf{A}=\pmatrix{1 & 2 \cr 2 & 1}$ diagonalisieren.

Das charakteristische Polynom ist

$$\left\vert \begin{array} {ll} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right\vert = \lambda^2 -2\lambda -3$$

Die Eigenwerte sind daher

$$\lambda_1=-1\mbox{ und }\lambda_2=3$$

Die normierten Eigenvektoren sind

$$\mathsfbf{f}_1=\pmatrix{-\frac{1}{\sqrt{2}}\cr \frac{1}{\sqr... ...hsfbf{f}_2=\pmatrix{\frac{1}{\sqrt{2}}\cr \frac{1}{\sqrt{2}}}$$

Bezüglich dieser Basis wird $\mathsfbf{A}$ zur Diagonalmatrix

$$\pmatrix{ -1 & 0 \cr 0 & 3 }$$