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Norm und inneres Produkt  

 

DEFINITION (INNERES PRODUKT, SKALARPRODUKT)
Das  innere Produkt (oder  Skalarprodukt) zweier Vektoren $\mathsfbf{x}$ und $\mathsfbf{y}$ ist

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{x}^t\,\mathsfbf{y} =\sum_{i=1}^n x_i\,y_i$}}$

Zwei Vektoren heißen   orthogonal, wenn $\mathsfbf{x}^t\,\mathsfbf{y} = 0$.

(D.h. die beiden Vektoren stehen normal (senkrecht, im rechten Winkel) aufeinander).

BEISPIEL

Das innere Produkt von $\mathsfbf{x}=\pmatrix{1\cr 2\cr 3}$ und $\mathsfbf{y}=\pmatrix{4\cr 5\cr 6}$ ist

$$\mathsfbf{x}^t\cdot\mathsfbf{y}=1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32$$

 

DEFINITION (NORM)
Die   Norm (oder Länge) $\Vert\mathsfbf{x}\Vert$ eines Vektors $\mathsfbf{x}$ ist

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \Vert\mathsfbf{x}\Vert = \sqrt{\mathsfbf{x}^t\,\mathsfbf{x}} =\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$}}$

Ein Vektor $\mathsfbf{x}$ heißt  normiert, falls $\Vert\mathsfbf{x}\Vert = 1$.
(D.h. der Vektor hat Länge 1).

BEISPIEL

Die Norm von $\mathsfbf{x}=\pmatrix{1\cr 2\cr 3}$ ist

$$\Vert\mathsfbf{x}\Vert= \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$$

Die Norm mißt die Länge eines Vektors, das innere Produkt den Winkel zwischen zwei Vektoren.

$$\cos\hbox{\rlap{{\large\raise -0.15ex\hbox{$<$}}}\kern.50em ... ...thsfbf{y}}{\Vert\mathsfbf{x}\Vert \cdot \Vert\mathsfbf{y}\Vert}$$