previous: Rechenregeln für Matrizen aus up: Vektorräume next: Determinanten

Ähnliche Matrizen  

Die Basis eines Vektorraumes und damit die Koordinatendarstellung eines Vektors ist nicht eindeutig.

Die Matrix $\mathsfbf{A}_\varphi$ einer linearen Abbildung $\varphi$hängt ebenfalls von der verwendeten Basis ab.

Sei nun $\mathsfbf{A}$ die Matrix bezüglich der Basis $B_1 = \{\mathsfbf{v}_1, \ldots, \mathsfbf{v}_n\}$.Wie sieht nun die entsprechende Matrix $\mathsfbf{C}$ bezüglich der Basis $B_2 = \{\mathsfbf{w}_1, \ldots, \mathsfbf{w}_n\}$ aus?

$$\begin{array} {lrcl} \mbox{Basis $B_1$}\quad &\mathsfbf{U... ...\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U}\,\tilde\mathsfbf{x} \\ \end{array}$$

$$\mathsfbf{C}\,\tilde\mathsfbf{x}= \mathsfbf{U}^{-1}\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U}\,\tilde\mathsfbf{x}$$

 

DEFINITION (ÄHNLICHE MATRIZEN)
Zwei $(n\!\times\!n)$-Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{C}$ heißen  ähnlich, falls es eine invertierbare Matrix $\mathsfbf{U}$ gibt, mit

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{C}= \mathsfbf{U}^{-1}\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U}$}}$