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Basis und Dimension  

Seien $\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfbf{v}_r$ Elemente eines Vektorraumes $\mathcal V$.

Wir betrachten die Menge aller  Linearkombinationen $a_1 \mathsfbf{v}_1 + a_2 \mathsfbf{v}_2 + \cdots + a_r \mathsfbf{v}_r$dieser Elemente. Diese Menge wird mit

$$\mbox{span}(\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfb... ...2 + \cdots + a_r \mathsfbf{v}_r\colon a_i\in{\mathbb R}\right\}$$

bezeichnet und heißt der von $\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfbf{v}_r$ aufgespannte Unterraum von $\mathcal V$.

DEFINITION (UNTERRAUM)
Ein  Unterraum (oder Teilraum) ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, die selbst wieder einen Vektorraum bildet.

BEISPIEL
$\mbox{span}\left(\pmatrix{1\cr 2}\right)$ ist eine Gerade durch Ursprung im ${\mathbb R}^2$.

BEISPIEL
Seien $\mathsfbf{v}_1=\pmatrix{1\cr 2\cr 3}$, $\mathsfbf{v}_2=\pmatrix{1\cr 3\cr 5}$, $\mathsfbf{v}_3=\pmatrix{1\cr 3\cr 6}$.

Dann ist $\mbox{span}\left(\mathsfbf{v}_1,\mathsfbf{v}_2,\mathsfbf{v}_3\right)={\mathbb R}^3$.

Eine Menge von Vektoren $\{\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfbf{v}_r\}$  erzeugt einen Vektorraum $\mathcal V$,falls

$$\mbox{span}(\mathsfbf{v}_1, \ldots, \mathsfbf{v}_r) = {\mathcal V}$$

Sind diese Vektoren linear unabhängig, so heißt diese Menge eine  Basis des Vektorraumes.

Die Anzahl dieser Vektoren ist die  Dimension
des Vektorraumes:

$$\dim({\mathcal V})=r$$

BEISPIEL
Die drei Vektoren $\mathsfbf{v}_1$, $\mathsfbf{v}_2$, $\mathsfbf{v}_3$ im obigen Beispiel bilden eine Basis des ${\mathbb R}^3$ und $\dim({\mathbb R}^3)=3$.

Die Basis eines Vektorraumes ist nicht eindeutig bestimmt.

BEISPIEL
Die Einheitsvektoren mit drei Komponenten $\{\mathsfbf{e}_1, \mathsfbf{e}_2, \mathsfbf{e}_3\}$ bilden eine Basis des ${\mathbb R}^3$. $\dim({\mathbb R}^3)=3$.

Diese Basis heißt die  kanonische Basis des ${\mathbb R}^3$.

Die Koordinaten $\tilde\mathsfbf{x}$ eines Vektors $\mathsfbf{x}$bezüglich einer Basis $\{\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfbf{v}_r\}$erhalten wir durch Lösen des Gleichungssystems

$$\tilde{x}_1 \mathsfbf{v}_1 + \tilde{x}_2\mathsfbf{v}_2 + \cdots + \tilde{x}_r\mathsfbf{v}_r = \mathsfbf{x}$$

In Matrixschreibweise:

$$\mathsfbf{V}\cdot\tilde{\mathsfbf{x}} = \mathsfbf{x}$$

wobei $\mathsfbf{V}=\left(\mathsfbf{v}_1,\mathsfbf{v}_2, \ldots, \mathsfbf{v}_r \right)$die Basisvektoren als Spaltenvektoren enthält.

BEISPIEL

Wir suchen die Koordinaten von $\mathsfbf{x}=\pmatrix{ 1\cr -1 \cr 2}$ bezüglich

der Basis $\mathsfbf{v}_1=\pmatrix{1\cr 2\cr 3}$, $\mathsfbf{v}_2=\pmatrix{1\cr 3\cr 5}$, $\mathsfbf{v}_3=\pmatrix{1\cr 3\cr 6}$.

Wir lösen das Gleichungssystem

$$\pmatrix{1 & 1 & 1 \cr 2 & 3 & 3 \cr 3 & 5 & 6 }\cdot \pmat... ...x}_1\cr \tilde{x}_2\cr \tilde{x}_3}= \pmatrix{1\cr -1 \cr 2}$$

mittels Gaußschem Eliminationsverfahren.

$$\left( \begin{array} {rrr\vert r} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 &... ... \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{array} \right)$$

$\quad\Rightarrow\quad$ $\tilde{x}_1=4$, $\tilde{x}_2=-8$ und $\tilde{x}_3=5$.

Die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind $\tilde\mathsfbf{x} = \pmatrix{4 \cr -8 \cr 5}$.