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Das Gaußsche Eliminationsverfahren  

Mit Hilfe des   Gaußschen Eliminationsverfahrens können die Lösungen eines Gleichungssystems gefunden werden bzw. kann festgestellt werden, ob das Gleichungssystem inkonsistent ist.

Zur besseren Übersicht können die Variablenbezeichnungen weggelassen werden.

$$\setlength \fboxsep{1.5mm}\begin{array} {rrr\vert r} \fb... ...12{,}5\\ 0{,}0 &-0{,}5 & \fbox {$0{,}9$} &16{,}5\\ \end{array}$$

Durch Umformungen bringen wir das Schema in die Staffelform.

Die  Staffelform hat die Eigenschaft, daß die Anzahl der Elemente gleich 0, die ganz auf der linken Seite stehen, von Zeile zu Zeile um mindestens eins zunimmt.

Es sind (nur) die folgenden Operationen erlaubt:

 

$$\bullet \not=0$$

$$\bullet$$ Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

$$\bullet$$ Vertauschen zweier Zeilen.

Diese Operationen lassen die Lösung des Gleichungssystems unverändert.

$$\begin{array} {ccc\vert c} 1 &-0{,}2&-0{,}2&7{,}0\\ -0{,}4&0{,}8 &-0{,}1&12{,}5\\ 0 &-0{,}5&0{,}9 &16{,}5\\ \end{array}$$

Wir addieren zunächst das $0{,}4$-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile. Wir schreiben dafür kurz:

$$Z2 \leftarrow Z2+0{,}4\times Z1$$

$$\begin{array} {ccc\vert c} 1&-0{,}2&-0{,}2 &7{,}0\\ 0&0{,}72&-0{,}18&15{,}3\\ 0&-0{,}5&0{,}9 &16{,}5\\ \end{array}$$

$Z2 \leftarrow \frac{1}{0,72}\times Z2, \quad Z3 \leftarrow Z3 + \frac{0,5}{0,72}\times Z2$

$$\begin{array} {ccc\vert c} \fbox {$1$} &-0{,}2 &-0{,}2 &7{... ...25 &21{,}25\\ 0 &0 & \fbox {$0{,}775$} &27{,}125\\ \end{array}$$

Aus der dritten Zeile erhalten wir direkt:

$0{,}775\cdot x_3=27{,}125\quad\Rightarrow\quad \fbox {$x_3=35$}$

Die Lösungen für die restlichen Variablen können durch  Rücksubstitution berechnet werden:

$x_2 -0{,}25\cdot 35 = 21{,}25\quad\Rightarrow\quad \fbox {$x_2=30$}$

$x_1 -0{,}2\cdot 30 -0{,}2\cdot 35 = 7\quad\Rightarrow\quad \fbox {$x_1=20$}$

Die Lösungsmenge besteht daher aus einem einzigen Punkt:

$L=\left\{\left(\begin{array} {c}20\\ 30\\ 35\\ \end{array}\right)\right\}$

 

BEISPIEL
Suchen die Lösung des Gleichungssystems:

$$\begin{array} {ccc\vert c} 3 &4 &5 &1\\ 1 & 1&-1 &2\\ 5 &6 & 3&4\\ \end{array}$$

$Z2\leftarrow 3\times Z2 -Z1,\quad Z3\leftarrow 3\times Z3-5\times Z1$

$$\begin{array} {ccc\vert c} 3&4 &5 &1\\ 0&-1&-8 &5\\ 0&-2&-16&7\\ \end{array}$$

$Z3 \leftarrow Z3 -2\times Z2$

$$\setlength \fboxsep{1.5mm} \begin{array} {ccc\vert c} \f... ...& \fbox {$-1$} &-8&5\\ 0 &0 &0 & \fbox {$-3$} \\ \end{array}$$

Aus der drittem Zeile erhalten wir $0=3$, ein Widerspruch. Das Gleichungssystem ist inkonsistent:

$$L=\emptyset$$

BEISPIEL
Suchen die Lösung des Gleichungssystems:

$$\begin{array} {rrrr\vert r} 2&8 &10 &10&0\\ 1 & 5&2 &9 &1\\ -3 &-10 & -21&-6&-4\\ \end{array}$$

$Z2\leftarrow 2\times Z2-Z1,\quad Z3\leftarrow 2\times Z3 + 3\times Z1$

$$\begin{array} {rrrr\vert r} 2&8&10 &10&0\\ 0&2&-6 &8 &2\\ 0&4&-12&18&-8\\ \end{array}$$

$Z3 \leftarrow Z3 -2\times Z2$

$$\setlength \fboxsep{1.5mm} \begin{array} {rrrr\vert r} \... ...ox {$2$} &-6& 8&2\\ 0 & 0&0 & \fbox {$2$} &-12\\ \end{array}$$

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Das können wir daran erkennen, daß nach Erreichen der Staffelform mehr Variablen als Gleichungen übrigbleiben.

Die Lösung läßt sich unmittelbar aus der dritten Zeile ablesen.

Durch Rücksubstitution erhalten wir

$2\cdot x_2 - 6\cdot x_3 +8\cdot (-6) = 2$

Wir setzen $x_3$ gleich einem ,,Parameter`` $\lambda$: , und erhalten

$x_2-3\cdot\lambda+4\cdot (-6)=1\;\Rightarrow\; \fbox {$x_2=25+3\cdot\lambda$}$

$2\cdot x_1 +8\cdot (25+3\cdot\lambda) +10\cdot\lambda +10\cdot (-6)=0$

$\Rightarrow\quad \fbox {$x_1=-70 - 17\cdot\lambda$}$

Jede Belegung des Parameters $\lambda$ liefert eine gültige Lösung:

$$L=\left\{\left(\begin{array} {c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end... ...\ 0\\ \end{array}\right) \colon\lambda\in{\mathbb R}\right\}$$

Wir hätten im obigen Beispiel genauso $x_2=\lambda'$ setzen können, und daraus das $x_3$ ausgerechnet:

$$L'=\left\{\left(\begin{array} {c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \en... ...}\\ 0\\ \end{array}\right) \colon\lambda'\in{\mathbb R}\right\}$$

Die beiden Mengen sind aber gleich, $L=L'$. Es handelt sich dabei nur zwei verschiedene -- aber äquivalente -- Parameterdarstellungen der selben Gerade.

Die Lösungsmenge ist immer eindeutig bestimmt, die Darstellung der Lösung hingegen nicht.