previous: Basis und Dimension up: Vektorräume next: Lineare Abbildungen

Basiswechsel

Wie können wir eine Basis für den ${\mathbb R}^n$ eine andere Basis umformen?

Seien $\{\mathsfbf{v}_1, \mathsfbf{v}_2,\ldots, \mathsfbf{v}_n\}$ und $\{\mathsfbf{w}_1, \mathsfbf{w}_2,\ldots, \mathsfbf{w}_n\}$ zwei Basen für den ${\mathbb R}^n$ .

Die Vektoren $\mathsfbf{w}_i$ müssen sich als Linearkombination der Basisvektoren $\mathsfbf{v}_j$ darstellen lassen. Etwa

$\begin{displaymath} \mathsfbf{w}_1=u_{11}\,\mathsfbf{v}_1+u_{21}\,\mathsfbf{v}_2+\cdots+ u_{n1}\,\mathsfbf{v}_n\end{displaymath}$

allgemeiner

$\begin{displaymath} \mathsfbf{w}_i = \sum_{j=1}^n u_{ji}\,\mathsfbf{v}_j =\mathsfbf{V}\cdot \pmatrix{u_{1i}\cr u_{2i}\cr \vdots\cr u_{ni}}\end{displaymath}$

wobei $\mathsfbf{V}=(\mathsfbf{v}_1,\mathsfbf{v}_2,\ldots,\mathsfbf{v}_n)$ .

Setzen $\mathsfbf{U}=(u_{ji})$ und $\mathsfbf{W}=(\mathsfbf{w}_1,\mathsfbf{w}_2,\ldots,\mathsfbf{w}_n)$ :

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{W}=\mathsfbf{V}\cdot\mathsfbf{U}$}}$

Die Matrix $\mathsfbf{U}$ heißt Transformationsmatrix.

Sie ist nicht singulär.

Es gibt auch eine Basistransformation von $\{\mathsfbf{w}_i\}$ nach $\{\mathsfbf{v}_j\}$ .

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{V}=\mathsfbf{W}\cdot\mathsfbf{U}^{-1}$}}$

Wie änderen sich nun die Koordinaten $\tilde\mathsfbf{x}$ eines Vektors $\mathsfbf{x}$ beim Basiswechsel?

Sei $\tilde\mathsfbf{x}_v$ die Kordinatendarstellung von $\mathsfbf{x}$ bezüglich der Basis $\{\mathsfbf{v}_i\}$ , $\tilde\mathsfbf{x}_w$ bez. $\{\mathsfbf{w}_i\}$ .

$\begin{displaymath} \mathsfbf{x} = \sum_{i=1}^n \tilde{x}_{vi}\,\mathsfbf{v}_i =... ...}_{wi}\,\mathsfbf{w}_i =\mathsfbf{W}\cdot\tilde{\mathsfbf{x}}_w\end{displaymath}$

Wir erhalten daher

$\begin{displaymath} \mathsfbf{W}\cdot\tilde{\mathsfbf{x}}_w =\mathsfbf{V}\cdot\t... ... =\mathsfbf{W}\cdot\mathsfbf{U}^{-1}\cdot\tilde{\mathsfbf{x}}_v\end{displaymath}$

Also

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \tilde{\mathsfbf{x}}_w=\mathsfbf{U}^{-1}\cdot\tilde{\mathsfbf{x}}_v$}}$

Die Transformationsmatrix $\mathsfbf{U}$ können wir leicht aus
$\mathsfbf{W}=\mathsfbf{V}\cdot\mathsfbf{U}$ berechnen:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{U}=\mathsfbf{V}^{-1}\cdot\mathsfbf{W}$}}$

BEISPIEL

Transformationsmatrix für den Basiswechsel von

$\left\{ \pmatrix{1\cr 2\cr 3},\pmatrix{1\cr 3\cr 5}, \pmatrix{1\cr 3\cr 6}\right\}$ in $\left\{ \pmatrix{1\cr 1\cr 1},\pmatrix{-2\cr 1\cr 1}, \pmatrix{3\cr 5\cr 6}\right\}$ .

$\begin{displaymath} \mathsfbf{V}=\pmatrix{1 & 1 & 1 \cr 2 & 3 & 3 \cr 3 & 5 & 6 ... ... \mathsfbf{W}=\pmatrix{1 & -2 & 3\cr 1 & 1 & 5\cr 1 & 1 & 6} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \mathsfbf{V}^{-1}=\pmatrix{3 & -1 & 0\cr -3 & 3 & -1\cr 1 & -2 & 1} \end{displaymath}$

Lösung:

$\begin{displaymath} \mathsfbf{U}=\mathsfbf{V}^{-1}\cdot\mathsfbf{W}= \pmatrix{2 & -7 & 4\cr -1 & 8 & 0\cr 0 & -3 & -1 } \end{displaymath}$