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Lokale Extrema  

 

DEFINITION (LOKALES EXTREMUM)
$\mathsfbf{x}_0\in D$ heißt  lokales Maximum (vgl.) der Funktion $f\colon D\to{\mathbb R}$, falls für alle $\mathsfbf{x}$ in einer Umgebung von $\mathsfbf{x}_0$, $\{\mathsfbf{x}\in D\,\vert\,\Vert\mathsfbf{x}-\mathsfbf{x}_0\Vert<\varepsilon\}$, gilt: $f(\mathsfbf{x})\leq f(\mathsfbf{x}_0)$.

$\mathsfbf{x}_0$ heißt  lokales Minimum, falls $f(\mathsfbf{x})\geq f(\mathsfbf{x}_0)$.

Alle lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion sind stationäre Punkte.

 

DEFINITION (STATIONäRER PUNKT)
Ein Punkt $\mathsfbf{x}_0=(x_1,\ldots,x_n)\in{\mathbb R}^n$ heißt  stationärer Punkt der Funktion $f\colon{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$ falls

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \nabla f(\mathsfbf{x}_0) = \mathsfbf{o}$}}$

$$f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3 - x + \frac{1}{4}\,x\,y^2$$

 

BEISPIEL
Suche alle stationären Punkte von

$$f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3 - x + \frac{1}{4}\,x\,y^2$$

LöSUNG:

Bilde alle ersten partiellen Ableitungen, setze diese Null und löse das Gleichungssystem.

$$\begin{array} {llllll} (I)& f_x &=& \frac{1}{2}\,x^2 - 1 + ... ... [1ex] (II)& f_y &=& \frac{1}{2}\,x\,y & = & 0\\ \end{array}$$

Aus $(II)$ folgt $\quad x=0\quad$ oder $\quad y=0$.

Durch Eingesetzt in $(I)$ erhalten wir daraus

$$\begin{array} {lclcl} x=0 & \Rightarrow & y^2=4 & \Rightarr... ...rrow & 0=1 & \Rightarrow & \mbox{ein Widerspruch} \end{array}$$

Die stationären Punkte von $f$ sind daher

$\mathsfbf{p}_1 = (0,2), \quad \mathsfbf{p}_2 = (0,-2),$

$\mathsfbf{p}_3 = (\sqrt{2},0), \quad \mathsfbf{p}_4 = (-\sqrt{2},0)$

Mit Hilfe der Definitheit der Hesse-Matrix können wir bestimmen (vgl.), welche stationären Punkte Maxima , Minima oder Sattelpunkte sind (vgl.).

 

(1)

Berechne die Hesse-Matrix $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)$.

(2)

Berechne die Hauptminoren von $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)$:

$$\vert\mathsfbf{H}_k\vert = \left\vert \begin{array} {ccc} ... ...\ldots&f_{x_k,x_k}(\mathsfbf{x}_0)\\ \end{array} \right\vert$$

(3)

(a)

Alle Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_k\vert \gt 0$ $\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein lokales Minimum von $f$.

(b)

Alle geraden Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_2\vert,\,\vert\mathsfbf{H}_4\vert,\,\ldots \gt 0$, ungeraden Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_1\vert,\,\vert\mathsfbf{H}_3\vert,\,\ldots < 0$

$\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein lokales Maximum von $f$.

(c)

$\det(\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0))\not=0$ aber keine der Bedingungen (a) und (b) ist erfüllt

$\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein Sattelpunkt von $f$.

(d)

Andernfalls ist keine Aussage möglich, d.h. $\mathsfbf{x}_0$ kann ein lokales Extremum sein, muß aber nicht.

Wir haben in diesem Verfahren festgestellt, ob $f$ in einer Umgebung des stationären Punktes $\mathsfbf{x}_0$ streng konvex oder streng konkav ist (vgl.).

Im Falle einer Funktion $f(x,y)$ in zwei Variablen vereinfacht sich (3)  zu:

$$\bullet \vert\mathsfbf{H}_2\vert < 0 \Rightarrow \mathsfbf{x}_0$$

$$\bullet \vert\mathsfbf{H}_2\vert \gt 0 \vert\mathsfbf{H}_1\vert \gt 0 \Rightarrow \mathsfbf{x}_0$$

$$\bullet \vert\mathsfbf{H}_2\vert \gt 0 \vert\mathsfbf{H}_1\vert < 0 \Rightarrow \mathsfbf{x}_0$$

$$\bullet \vert\mathsfbf{H}_2\vert = 0 \Rightarrow$$ Keine Aussage möglich

Wir könnten die stationären Punkte von $f$ auch mit Hilfe der Eigenwerte der Hesse-Matrix charakterisieren (vgl.).

lokales Maximum

lokales Minimum

Sattelpunkt

Stationärer Punkt höherer Ordnung

BEISPIEL (FORTSETZUNG)

(1) Hesse-Matrizen der Funktion

$f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3-x+\frac{1}{4}\,x\,y^2$

$\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}) = \pmatrix{ f_{xx}(\mathsfbf{x}) & f_{xy}(\mathsf... ...\frac{1}{2}\,y \\ [0.7ex] \frac{1}{2}\,y & \frac{1}{2}\,x \end{array} \right)$

$\begin{array} {ll} \mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{p}_1)= \pmatrix{ 0 & 1 \cr 1 & ... ...fbf{p}_4)= \pmatrix{ -\sqrt{2} & 0 \cr 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} } \end{array}$

(2) + (3) Die Hauptminoren und deren Vorzeichen sind

$\mathsfbf{p}_1=(0,2)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = -1 < 0$ $\Rightarrow$   Sattelpunkt

$\mathsfbf{p}_2=(0,-2)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = -1 < 0$ $\Rightarrow$   Sattelpunkt

$\mathsfbf{p}_3=(\sqrt{2},0)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = 1 \gt 0$, $\vert\mathsfbf{H}_1\vert = \sqrt{2} \gt 0$ $\Rightarrow$   lokales Minimum

$\mathsfbf{p}_4=(\sqrt{2},0)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = 1 \gt 0$, $\vert\mathsfbf{H}_1\vert = -\sqrt{2} < 0$ $\Rightarrow$   lokales Maximum

 

BEISPIEL
Wir suchen die Extrema der Funktion

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-1)^2+(x_2+2)^2+(x_3+1)^2$$

$$\nabla f = \pmatrix{ 2\,(x_1-1)\cr 2\,(x_2+2)\cr 2\,(x_3+1) } = \pmatrix{ 0\cr 0\cr 0 }$$

Der einzige stationäre Punkt ist $\mathsfbf{p}=(1,-2,-1)$.

$$\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{p})= \pmatrix{ 2 & 0 & 0\cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 2 }$$

Alle Hauptminoren sind positiv:

$\vert\mathsfbf{H}_1\vert=2$, $\vert\mathsfbf{H}_2\vert=4$, $\vert\mathsfbf{H}_3\vert=8$ $\Rightarrow$ $\quad\mathsfbf{p}$ ist ein lokales Minimum.