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Lokale Extrema  



 

DEFINITION (LOKALES EXTREMUM)
$\mathsfbf{x}_0\in D$ heißt  lokales Maximum (vgl.) der Funktion $f\colon D\to{\mathbb R}$, falls für alle $\mathsfbf{x}$ in einer Umgebung von $\mathsfbf{x}_0$, $\{\mathsfbf{x}\in D\,\vert\,\Vert\mathsfbf{x}-\mathsfbf{x}_0\Vert<\varepsilon\}$, gilt: $f(\mathsfbf{x})\leq f(\mathsfbf{x}_0)$.

$\mathsfbf{x}_0$ heißt  lokales Minimum, falls $f(\mathsfbf{x})\geq f(\mathsfbf{x}_0)$.




Alle lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion sind stationäre Punkte.

 

DEFINITION (STATIONäRER PUNKT)
Ein Punkt $\mathsfbf{x}_0=(x_1,\ldots,x_n)\in{\mathbb R}^n$ heißt  stationärer Punkt der Funktion $f\colon{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$ falls


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \nabla f(\mathsfbf{x}_0) = \mathsfbf{o}$}}$




\begin{figure}
\hspace*{-2cm} \hbox{\epsfxsize=21cm\epsfbox{figures/Extrema_Bsp.eps}}\end{figure}


\begin{displaymath}
f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3 - x + \frac{1}{4}\,x\,y^2\end{displaymath}



 

BEISPIEL
Suche alle stationären Punkte von

\begin{displaymath}
f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3 - x + \frac{1}{4}\,x\,y^2\end{displaymath}

SUNG:

Bilde alle ersten partiellen Ableitungen, setze diese Null und löse das Gleichungssystem.

\begin{displaymath}
\begin{array}
{llllll}
 (I)& f_x &=& \frac{1}{2}\,x^2 - 1 + ...
 ... [1ex]
 (II)& f_y &=& \frac{1}{2}\,x\,y & = & 0\\  \end{array} \end{displaymath}

Aus $(II)$ folgt $\quad x=0\quad$ oder $\quad y=0$.

Durch Eingesetzt in $(I)$ erhalten wir daraus

\begin{displaymath}
\begin{array}
{lclcl}
 x=0 & \Rightarrow & y^2=4 & \Rightarr...
 ...rrow & 0=1 & \Rightarrow & \mbox{ein Widerspruch}
 \end{array} \end{displaymath}

Die stationären Punkte von $f$ sind daher

$\mathsfbf{p}_1 = (0,2), \quad \mathsfbf{p}_2 = (0,-2),$

$\mathsfbf{p}_3 = (\sqrt{2},0), \quad \mathsfbf{p}_4 = (-\sqrt{2},0)$



Mit Hilfe der Definitheit der Hesse-Matrix können wir bestimmen (vgl.), welche stationären Punkte Maxima , Minima oder Sattelpunkte sind (vgl.).


 

(1)
Berechne die Hesse-Matrix $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)$.

(2)
Berechne die Hauptminoren von $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)$:

\begin{displaymath}
\vert\mathsfbf{H}_k\vert =
 \left\vert
 \begin{array}
{ccc}
...
 ...\ldots&f_{x_k,x_k}(\mathsfbf{x}_0)\\  \end{array} \right\vert
 \end{displaymath}

(3)
(a)
Alle Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_k\vert \gt 0$ $\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein lokales Minimum von $f$.

(b)
Alle geraden Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_2\vert,\,\vert\mathsfbf{H}_4\vert,\,\ldots \gt 0$, ungeraden Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_1\vert,\,\vert\mathsfbf{H}_3\vert,\,\ldots < 0$

$\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein lokales Maximum von $f$.

(c)
$\det(\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0))\not=0$ aber keine der Bedingungen (a) und (b) ist erfüllt

$\quad\Rightarrow\quad \mathsfbf{x}_0$ ist ein Sattelpunkt von $f$.

(d)
Andernfalls ist keine Aussage möglich, d.h. $\mathsfbf{x}_0$ kann ein lokales Extremum sein, muß aber nicht.



Wir haben in diesem Verfahren festgestellt, ob $f$ in einer Umgebung des stationären Punktes $\mathsfbf{x}_0$ streng konvex oder streng konkav ist (vgl.).




Im Falle einer Funktion $f(x,y)$ in zwei Variablen vereinfacht sich (3)  zu:

$\bullet$ $\vert\mathsfbf{H}_2\vert < 0$ $\Rightarrow$ $\mathsfbf{x}_0$ ist Sattelpunkt
$\bullet$ $\vert\mathsfbf{H}_2\vert \gt 0$ und $\vert\mathsfbf{H}_1\vert \gt 0$ $\Rightarrow$ $\mathsfbf{x}_0$ ist lokales Minimum
$\bullet$ $\vert\mathsfbf{H}_2\vert \gt 0$ und $\vert\mathsfbf{H}_1\vert < 0$ $\Rightarrow$ $\mathsfbf{x}_0$ ist lokales Maximum
$\bullet$ $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = 0$ $\Rightarrow$ Keine Aussage möglich





Wir könnten die stationären Punkte von $f$ auch mit Hilfe der Eigenwerte der Hesse-Matrix charakterisieren (vgl.).





\begin{figure}
\makebox[0pt][l]{\epsfxsize=12cm\epsfbox{figures/Extrema_Stationa...
 ...]{\epsfxsize=10cm\epsfbox{figures/Extrema_StationaerePunkte.1b.eps}}\end{figure}

lokales Maximum






\begin{figure}
\makebox[0pt][l]{\epsfxsize=12cm\epsfbox{figures/Extrema_Stationa...
 ...]{\epsfxsize=10cm\epsfbox{figures/Extrema_StationaerePunkte.2b.eps}}\end{figure}

lokales Minimum




\begin{figure}
\makebox[0pt][l]{\epsfxsize=12cm\epsfbox{figures/Extrema_Stationa...
 ...]{\epsfxsize=10cm\epsfbox{figures/Extrema_StationaerePunkte.3b.eps}}\end{figure}

Sattelpunkt






\begin{figure}
\makebox[0pt][l]{\epsfxsize=12cm\epsfbox{figures/Extrema_Stationa...
 ...]{\epsfxsize=10cm\epsfbox{figures/Extrema_StationaerePunkte.4b.eps}}\end{figure}

Stationärer Punkt höherer Ordnung



BEISPIEL (FORTSETZUNG)

(1) Hesse-Matrizen der Funktion

$f(x,y)=\frac{1}{6}\,x^3-x+\frac{1}{4}\,x\,y^2$


$\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}) =
 \pmatrix{ f_{xx}(\mathsfbf{x}) & f_{xy}(\mathsf...
 ...\frac{1}{2}\,y \\ [0.7ex]
 \frac{1}{2}\,y & \frac{1}{2}\,x
 \end{array} \right)$

$
 \begin{array}
{ll}
 \mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{p}_1)=
 \pmatrix{ 0 & 1 \cr 1 & ...
 ...fbf{p}_4)=
 \pmatrix{ -\sqrt{2} & 0 \cr 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} }
 \end{array} $


(2) + (3) Die Hauptminoren und deren Vorzeichen sind

$\mathsfbf{p}_1=(0,2)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = -1 < 0$ $\Rightarrow$   Sattelpunkt

$\mathsfbf{p}_2=(0,-2)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = -1 < 0$ $\Rightarrow$   Sattelpunkt

$\mathsfbf{p}_3=(\sqrt{2},0)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = 1 \gt 0$, $\vert\mathsfbf{H}_1\vert = \sqrt{2} \gt 0$ $\Rightarrow$   lokales Minimum

$\mathsfbf{p}_4=(\sqrt{2},0)$: $\vert\mathsfbf{H}_2\vert = 1 \gt 0$, $\vert\mathsfbf{H}_1\vert = -\sqrt{2} < 0$ $\Rightarrow$   lokales Maximum



 

BEISPIEL
Wir suchen die Extrema der Funktion

\begin{displaymath}
f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-1)^2+(x_2+2)^2+(x_3+1)^2
 \end{displaymath}


\begin{displaymath}
\nabla f = \pmatrix{ 2\,(x_1-1)\cr 2\,(x_2+2)\cr 2\,(x_3+1) }
 = \pmatrix{ 0\cr 0\cr 0 }
 \end{displaymath}

Der einzige stationäre Punkt ist $\mathsfbf{p}=(1,-2,-1)$.

\begin{displaymath}
\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{p})=
 \pmatrix{ 2 & 0 & 0\cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 2 }
 \end{displaymath}

Alle Hauptminoren sind positiv:

$\vert\mathsfbf{H}_1\vert=2$, $\vert\mathsfbf{H}_2\vert=4$, $\vert\mathsfbf{H}_3\vert=8$ $\Rightarrow$ $\quad\mathsfbf{p}$ ist ein lokales Minimum.


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung