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Quadratische Formen  

 

DEFINITION (QUADRATISCHE FORM)
Sei $\mathsfbf{A}$ eine symmetrische Matrix. Die Funktion

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) = \mathsfbf{x}^t\cdot \mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{x}$}}$

heißt  quadratische Form.

BEISPIEL
Sei $\mathsfbf{A}=\pmatrix{1&0&0\cr 0&2&0\cr 0&0&3}$. Dann ist

$$\begin{array} {rcl} q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) &=& \pma... ...\cr 2 x_2\cr 3 x_3} = x_1^2 + 2\,x_2^2 + 3\,x_3^2 \end{array}$$

BEISPIEL
Sei $\mathsfbf{A}=\pmatrix{1&1&-2\cr 1&2&3\cr -2&3&1}$. Dann ist

$$\begin{array} {rcl} q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) &=& \pma... ...2 x_1 x_2 -4 x_1 x_3 + 2 x_2^2 + 6 x_2 x_3 + x_3^2 \end{array}$$

Allgemein gilt für eine $n\!\times\!n$-Matrix $\mathsfbf{A}=(a_{ij})$:

$$q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}\,x_i x_j$$

 

DEFINITION (DEFINITHEIT)
Eine quadratische Form $q_\mathsfbf{A}$ heißt

•  positiv definit, wenn für alle $\mathsfbf{x}\not=0$, $q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})\gt$.
•  positiv semidefinit, wenn für alle $\mathsfbf{x}$, $q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})\geq 0$.
•  negativ definit, wenn für alle $\mathsfbf{x}\not=0$, $q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})<0$.
•  negativ semidefinit, wenn für alle $\mathsfbf{x}$, $q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})\leq 0$.
•  indefinit in allen anderen Fällen.

Eine Matrix $\mathsfbf{A}$ heißt positiv (negativ) definit (semidefinit), wenn die entsprechende quadratische Form positiv (negativ) definit (semidefinit) ist.

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

Sei $\{\mathsfbf{v}_1,\ldots,\mathsfbf{v}_n\}$ eine Orthonormalbasis des ${\mathbb R}^n$ aus Eigenvektoren von $\mathsfbf{A}$. Dann gilt für jeden Vektor $\mathsfbf{x}$:

$$\mathsfbf{x}=a_1\mathsfbf{v}_1+\cdots+a_n\mathsfbf{v}_n$$

Für die quadratische Form erhalten wir dann

$$\begin{array} {rcl} q_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) &=& \mat... ...sfbf{v}_j\\ [1ex] &=& \sum_{i=1}^n a_i^2 \lambda_i\end{array}$$

Es gilt:  

$\lambda_i$ seien die Eigenwerte der Matrix $\mathsfbf{A}$.

Die quadratische Form $q_\mathsfbf{A}$ ist genau dann

positiv definit, wenn alle $\lambda_i \gt$ sind.

positiv semidefinit, wenn alle $\lambda_i \geq 0$ sind.

negativ definit, wenn alle $\lambda_i <0$ sind.

negativ semidefinit, wenn alle $\lambda_i \leq 0$ sind.

 

DEFINITION (HAUPTMINOR)
Sei $\mathsfbf{A}=(a_{ij})$ eine symmetrische $n\!\times\!n$-Matrix. Dann heißt die Determinanten der Untermatrix

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \vert\mathsfbf{A}_k\vert = \left\vert \begin{a... ...dots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \ldots & a_{kk} \end{array} \right\vert$}}$

der $k$-te  Hauptminor von $\mathsfbf{A}$.

Mit Hilfe der Hauptminoren können wir ebenfalls die Definitheit einer quadratische Form feststellen.

Es gilt:  

Eine quadratische Form $q_\mathsfbf{A}$ ist genau dann

positiv definit, wenn alle $\vert\mathsfbf{A}_k\vert\gt$ sind.

negativ definit, wenn für alle $k$, $(-1)^k\vert\mathsfbf{A}_k\vert\gt$.

Falls $\det(\mathsfbf{A})\not=0$ und keine der beide Fälle zutrifft, dann ist $\mathsfbf{A}$ indefinit.

BEISPIEL
Gesucht ist die Definitheit der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\pmatrix{1&1&-2\cr 1&2&3\cr -2&3&1}$$

$\vert\mathsfbf{A}_1\vert=\det(a_{11})=\det(1)=1\gt$


$\vert\mathsfbf{A}_2\vert= \left\vert \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ ... ... \left\vert \begin{array} {cc} 1& 1\\ 1 & 2 \end{array} \right\vert = 1\gt$


$\vert\mathsfbf{A}_3\vert=\vert\mathsfbf{A}\vert = \left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 3\\ -2& 3 & 1 \end{array} \right\vert = -28<0$

$\mathsfbf{A}$ und $q_\mathsfbf{A}$ sind indefinit.

BEISPIEL
Gesucht ist die Definitheit der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\pmatrix{2&1&0\cr 1&3&-1\cr 0&-1&2}$$

$\vert\mathsfbf{A}_1\vert = 2 \gt$,


$\vert\mathsfbf{A}_2\vert = \left\vert \begin{array} {cc} 2&1\\ 1&3 \end{array} \right\vert =5 \gt 0$,


$\vert\mathsfbf{A}_3\vert=\vert\mathsfbf{A}\vert = \left\vert \begin{array} {ccc} 2&1&0\\ 1&3&-1\\ 0&-1&2 \end{array} \right\vert = 8 \gt 0$.

Alle Hauptminoren sind $\gt$, $\Rightarrow\,$ $\mathsfbf{A}$ und $q_\mathsfbf{A}$ sind positiv definit.

Die Bedingung für Semidefinitheit ist nicht so einfach.

  allgemeine Hauptminoren:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \vert\tilde\mathsfbf{A}_k\vert = \left\vert \be... ...ots & \vdots \\ a_{i_k,i_1} & \ldots & a_{i_k,i_k} \end{array} \right\vert$}}$

wobei $1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k\leq n$.

Es gilt:  

Eine quadratische Form $q_\mathsfbf{A}$ ist genau dann

positiv semidefinit, wenn alle $\vert\tilde\mathsfbf{A}_k\vert\geq 0$sind.

negativ semidefinit, wenn alle $(-1)^k\vert\tilde\mathsfbf{A}_k\vert\geq 0$.

indefinit in allen anderen Fällen.

BEISPIEL
Die allgemeinen Hauptminoren $\vert\tilde\mathsfbf{A}_k\vert$ der Matrix

$$\mathsfbf{A} = \pmatrix{1 & 2\cr 2 & 3}$$

lauten

$\vert\tilde\mathsfbf{A}_1\vert = 1$ und 3


sowie


$\vert\tilde\mathsfbf{A}_2\vert = \left\vert\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right\vert = -1$.

Die Matrix ist somit indefinit.

Jede positiv definite Matrix ist auch positiv semidefinit (aber nicht umgekehrt).