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Berechnung der lokalen Extrema  

Für differenzierbare Funktionen $f$ gilt:

Ein Punkt $x_0$ ist genau dann ein lokales Minimum (lokales Maximum), falls

$$f'(x_0)=0$$ (1)

$$f x_0$$ (2)

Punkte, in denen $f'(x)=0$, heißen   stationäre Punkte (singuläre Punkte, kritische Punkte) der Funktion $f$.

Für differenzierbare Funktionen erhalten wir die folgende Vorgangsweise zur Berechnung der lokalen Extrema:

 

$$f'(x) f''(x)$$ (1)

$$x_i f'(x_i)=0$$ (2)

$$f''(x_i)\gt \Rightarrow x_i$$ (3)

$$f''(x_i)<0 \Rightarrow x_i$$

$$f''(x_i)=0 \Rightarrow$$

BEISPIEL
Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

$f(x)=\frac{1}{12}\,x^3-x^2+3\,x+1$.

(1)

$f'(x)=\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3$,
$f''(x)=\frac{1}{2}\,x-2$.

(2)

$\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3=0$ besitzt die Lösungen
$x_1=2$ und $x_2=6$.

(3)

$f''(2)=-1$ $\Rightarrow$ $x_1$ ist lokales Maximum.
$f''(6)=1$ $\Rightarrow$ $x_2$ ist lokales Minimum.

Im Fall $f''(x_0)=0$ müssen weitere Untersuchungen angestellt werden, um festzustellen, ob die Funktion in der Nähe von $x_0$ konvex ($\Rightarrow$ lokales Minimum), konkav ($\Rightarrow$ lokales Maximum) oder keines von beiden ($\Rightarrow$ Sattelpunkt) ist.

Aus $f''(x_0)=0$ folgt nicht, daß $x_0$ ein Sattelpunkt ist.

BEISPIEL
Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

$f(x)=x^4$.

(1)

$f'(x)=4\,x^3$,
$f''(x)=12\,x^2$.

(2)

$4\,x^3=0$ hat die Lösung $x_1=0$.

(3)

$f''(0)=0$ $\Rightarrow$ keine Aussage möglich.

Aber: $f''(x)=12\,x^2\geq 0$ für alle $x\in{\mathbb R}$ $\Rightarrow$ $f$ ist konvex und $x_1$ ist ein lokales Minimum.