Für differenzierbare Funktionen gilt:
Ein Punkt ist genau dann ein lokales Minimum (lokales Maximum), falls
(1) | und |
(2) | in einem ,,geeigneten`` Intervall um konvex (bzw. konkav) ist. |
Punkte, in denen , heißen stationäre Punkte (singuläre Punkte, kritische Punkte) der Funktion .
Für differenzierbare Funktionen erhalten wir die folgende Vorgangsweise zur Berechnung der lokalen Extrema:
(1) | Berechne und . |
(2) | Suche alle Punkte mit . |
(3) | ist ein lokales Minimum |
ist ein lokales Maximum | |
Falls keine Aussage möglich. |
BEISPIEL
Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion
.
Im Fall müssen weitere Untersuchungen angestellt werden, um festzustellen, ob die Funktion in der Nähe von konvex ( lokales Minimum), konkav ( lokales Maximum) oder keines von beiden ( Sattelpunkt) ist.
Aus folgt nicht, daß ein Sattelpunkt ist.
BEISPIEL
Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion
.
Aber: für alle ist konvex und ist ein lokales Minimum.