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Globale Extrema  

DEFINITION (GLOBALES EXTREMUM)
$\mathsfbf{x}_0\in D$ heißt  globales Maximum (vgl.) der Funktion $f\colon D\to{\mathbb R}$, falls für alle $\mathsfbf{x}$ im Definitionsbereich (vgl.) $D$ gilt: $f(\mathsfbf{x})\leq f(\mathsfbf{x}_0)$.

$\mathsfbf{x}_0$ heißt  globales Minimum, falls $f(\mathsfbf{x})\geq f(\mathsfbf{x}_0)$.

Die Berechnung globaler Extremwerte von Funktionen in mehr als einer Variablen ist im allgemeinen sehr schwierig.

Wir wollen hier nur folgenden Spezialfall behandeln:

Sei $f$ eine konvexe (konkave) Funktion und $\mathsfbf{x}_0$ ein stationärer Punkt von $f$, dann ist $\mathsfbf{x}_0$ ein globales Minimum (globales Maximum).

Das Extremum ist sogar eindeutig, wenn die Funktion streng konvex oder streng konkav ist.

BEISPIEL
Die Funktion

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-1)^2+(x_2+2)^2+(x_3+1)^2$$

aus obigem Beispiel ist (streng) konvex, da alle Hauptminoren größer 0 für alle $\mathsfbf{x}\in{\mathbb R}^3$ sind.

Daher ist $\mathsfbf{p}=(1,-2,-1)$ das globale Minimum von $f$.

Eine streng konvexe Funktion mit Definitionsbereich $D={\mathbb R}^n$ besitzt kein (lokales) Maximum.

Eine streng konkave Funktion mit Definitionsbereich $D={\mathbb R}^n$ besitzt kein (lokales) Minimum.