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Wie berechnet man Eigenwerte?  

Sei $\mathsfbf{A}$ eine $(n\!\times\!n)$-Matrix. Wir müssen die Gleichung

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \lambda\mathsfbf{x}= \lambda\ma... ...ad (\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})\mathsfbf{x}= \mathsfbf{o}$$

lösen. Falls $(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ invertierbar ist, dann ist

$$\mathsfbf{x}=(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})^{-1} \mathsfbf{o} =\mathsfbf{o}$$

Dann ist $\lambda$ aber kein Eigenwert.

$\lambda$ ist genau dann Eigenwert von $\mathsfbf{A}$, wenn $(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ nicht invertierbar ist, d.h. wenn

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})=0$}}$

$\det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ ist ein Polynom $n$-ten Grades und heißt das   charakteristische Polynom der Matrix $\mathsfbf{A}$.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms.

BEISPIEL
Wir suchen die Eigenwerte von $\mathsfbf{A}=\pmatrix{ 1 & -2\cr 1 & 4 }$.

Dazu bilden wir das charakteristische Polynom und berechnen deren Nullstellen.

$$\det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})= \left\vert \begin... ...\lambda \end{array} \right\vert = \lambda^2 -5\lambda+6 = 0$$

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind

$$\lambda_1=2\quad\mbox{und}\quad\lambda_2=3.$$

$\mathsfbf{A}$ besitzt daher die Eigenwerte 2 und 3.

Es kann sein, daß alle Nullenstellen des charakteristischen Polynoms komplex sind. (komplexe Eigenwerte)