previous: Komplexe Zahlen up: Komplexe Zahlen next: Die Gaußsche Zahlenebene

Imaginäre und komplexe Zahlen  

Wir führen ein neue Zahl $i$ ein, mit der Eigenschaft

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle i^2 = -1$}}$

Die Zahlen der Form $b\,i$ (z.B. $5\,i$), $b\in{\mathbb R}$ heißen,  imaginäre Zahlen.

Die Zahlen der Form $a + b\,i$ (z.B. $5 + 3\,i$), $a,b\in{\mathbb R}$,heißen  komplexe Zahlen.

$a$ ... Realteil von $a + bi$,

$b$ ... Imaginärteil von $a + bi$

Menge aller komplexen Zahlen: ${\mathbb C}$.

Eigenschaften von $i$:

(1)

$i \notin {\mathbb R}$

(2)

$\sqrt{-1} = i$

(3)

$i^2 = -1\quad i^3 = -i\quad i^4 = 1\quad i^5 = i\quad \ldots$

Mit komplexen Zahlen kann wie gewohnt gerechnet
werden. Für die Division gilt dabei:

$$\frac{a_1+b_1\,i}{a_2+b_2\,i} = \frac{a_1\,a_2 + b_1\,b_2}{a_2^2 + b_2^2} +\frac{b_1\,a_2 - a_1\,b_2}{a_2^2+b_2^2}\,i$$

BEISPIEL
$(5 + 4i) + (3 - 2i) = 8 + 2i$
$(3-i) - 5 = -2 - i$
$2 \cdot (3 - i) = 6 - 2i$
$(1 + i) \cdot (2 - 2i) = 2 - 2i + 2i - \underbrace {2i^2}_{-2} = 4$
$(3 + 5i) \cdot (1 - i ) = 3 - 3i + 5i -\underbrace{5i^2}_{-5} = 8 + 2i$
$$\frac{3+2\,i}{2-3\,i} = \frac{6-6}{4+9} + \frac{4+9}{4+9}\,i = i$$

Wenn $x=a+bi$ ein komplexe Lösung von
$x^2 + a_1 x + a_2 = 0$ ist, dann auch $\bar{x}=a - bi$.

$\bar{x}$ heißt die zu $x$  konjungiert komplexe Zahl.