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Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?  

Wir betrachten ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft: $\mathsfbf{x}$ sei die Produktion, $\mathsfbf{V}$ die Verbrauchsmatrix, der Konsum innerhalb der Volkswirtschaft ist daher $\mathsfbf{V}\cdot\mathsfbf{x}$. Wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn

$$\mathsfbf{V}\cdot \mathsfbf{x}=\mathsfbf{x}$$

so haben wir ein geschlossenes Leontiefmodell.

Wir suchen nun nach einer Methode, um festzustellen, ob ein Leontief-Modell geschlossen ist.

Es handelt sich dabei um  Eigenwertproblem.

DEFINITION (EIGENWERT UND EIGENVEKTOR)
Ein Vektor $\mathsfbf{x}\in{\mathbb R}^n$, $\mathsfbf{x}\not=\mathsfbf{o}$, heißt  Eigenvektor einer $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}$ zum  Eigenwert $\lambda\in{\mathbb R}$, falls

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x}=\lambda\,\mathsfbf{x}$}}$

Die Eigenwerte der Matrix $\mathsfbf{A}$ sind alle $\lambda\in{\mathbb R}$ für die ein Eigenvektor existiert.

BEISPIEL
Sei $\mathsfbf{A}$ eine Diagonalmatrix im ${\mathbb R}^3$ und $\mathsfbf{x}=\mathsfbf{e}_1=\pmatrix{1\cr 0\cr 0}$ ein Einheitsvektor. Dann ist

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \pmatrix{ a_{11} & 0 & 0 \cr ... ...r 0} = \pmatrix{ a_{11} \cr 0\cr 0} = a_{11}\cdot\mathsfbf{x}$$

$\mathsfbf{x}$ ist also Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda = a_{11}$.