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Determinante und Inverse  

Wir wollen die Inverse einer Matrix $\mathsfbf{A}$ mit Hilfe der Determinante ausrechnen.

Sei $A_{ik}=(-1)^{i+k} \vert\mathsfbf{S}_{ik}\vert$,wobei $\mathsfbf{S}_{ik}$ die Streichungsmatrix ist. Die Zahl $A_{ik}$ heißt  Kofaktor von $a_{ik}$.

Wir können diese Kofaktoren in einer Matrix zusammenfassen ( Kofaktorenmatrix) und transponieren. Wir erhalten dadurch die  adjungierte Matrix ${\mathsfbf{A}^\ast}^t$ von $\mathsfbf{A}$.

$${\mathsfbf{A}^\ast}^t = \pmatrix{ A_{11} & A_{21} & \ldots &... ...dots & \ddots & \vdots \cr A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} }$$

Wie sieht das Produkt ${\mathsfbf{A}^\ast}^t \cdot \mathsfbf{A}$ aus?

Das Produkt aus $k$-ter Zeile von ${\mathsfbf{A}^\ast}^t$ und $j$-ter Spalte von $\mathsfbf{A}$ ist nach dem Entwicklungssatz (Entwicklung nach einer Spalte)

$$\begin{array} {rcl} \sum_{i=1}^n a_{ij}\cdot A_{ik} &=& \... ...kebox[0pt]{$k$-te Spalte}}, \ldots, \mathsfbf{a}_n)\end{array}$$

Die $\mathsfbf{a}_i$ sind die einzelnen Spaltenvektoren von $\mathsfbf{A}$.

Falls $j=k$, dann ist dieses Produkt gerade $\det(\mathsfbf{A})$.

Andernfalls ist dieses Produkt gleich 0 (zwei Spalten der Determinante gleich).

$${\mathsfbf{A}^\ast}^t \cdot \mathsfbf{A} = \det(\mathsfbf{A})\cdot \mathsfbf{I}$$

Für die Inverse erhalten wir

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathsfbf{A})}\cdot {\mathsfbf{A}^\ast}^t$}}$

BEISPIEL
Gesucht ist die Inverse von

$$\mathsfbf{A}=\pmatrix{ 1 & 2\cr 3 & 4}$$

$\det(\mathsfbf{A})= \left\vert \begin{array} {cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right\vert =-2$

$A_{11} = 4$, $A_{12}= -3$, $A_{21}= -2$ und $A_{22}=1$

${\mathsfbf{A}^\ast}^t=\pmatrix{ 4 & -2\cr -3 & 1}$

Daher:

$$\mathsfbf{A}^{-1} = -\frac{1}{2}\pmatrix{ 4 & -2\cr -3 & 1}$$