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Der Laplace'sche Entwicklungssatz  

Determinanten von $(n\!\times\!n)$-Matrizen lassen sich durch den  Laplace'schen Entwicklungssatz rekursiv berechnen.

Entwicklung nach der $k$-ten Spalte bzw. $i$-ten Zeile:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \det(\mathsfbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ik} \cdot (-... ...{ik}\vert= \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (-1)^{i+k} \vert\mathsfbf{S}_{ik}\vert$}}$

$\mathsfbf{S}_{ik}$ ist die $((n-1)\!\times\!(n-1))$-Matrix, die man erhält, wenn die $i$-te Zeile und $k$-te Spalte gestrichen wird ( ,,Streichungsmatrix``).

Es ist dabei völlig egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt wird.

BEISPIEL
Wir berechnen die Determinante von    $\pmatrix{ 1 & 2 & 3\cr 4 & 5 & 6\cr 7 & 8 & 9 }$

Entwicklung nach der ersten Zeile:

$$\begin{array} {rcl} \setlength {\fboxsep}{2mm} \begin{arr... ... (-3) - 2\cdot (-6) + 3\cdot (-3)\\ [1ex] & = & 0 \end{array}$$

Wir können aber auch nach der zweiten Spalte entwickeln:

$$\begin{array} {rcl} \setlength {\fboxsep}{2mm} \begin{arr... ...(-6) + 5\cdot (-12) -8 \cdot (-6)\\ [1ex] & = & 0 \end{array}$$

Wir wählen stets stets eine Zeile oder Spalte, die möglichst viele Nullen enthält.

BEISPIEL

$\begin{array} {\vert c\vert} \setlength {\fboxsep}{2mm} \mbox{1\hspace{1ex... ...cc\vert} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{array}= 6 \cdot 0 = 0$