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Die Cramersche Regel  

Die  Cramersche Regel ist eine Methode die Lösung
eines linearen Gleichungssystems in $n$ Gleichungen und $n$Unbekannten zu finden, sofern die Lösung existiert und eindeutig ist.

$$\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{x}=\mathsfbf{b}$$

Falls $\mathsfbf{A}$ regulär ist ($\det(\mathsfbf{A})\not=0$), dann gilt

$$\mathsfbf{x}=\mathsfbf{A}^{-1}\cdot\mathsfbf{b} =\frac{1}{\det(\mathsfbf{A})}\,{\mathsfbf{A}^\ast}^t \cdot\mathsfbf{b}$$

Wir erhalten daher für $x_k$

$$\begin{array} {rcl} x_k &=& \frac{1}{\det(\mathsfbf{A})} ... ...kebox[0pt]{$k$-te Spalte}}, \ldots, \mathsfbf{a}_n)\end{array}$$

Sei nun $\mathsfbf{A}_k$ die Matrix, die wir aus $\mathsfbf{A}$ erhalten, wenn wir die $k$-te Spalte durch den Vektor $\mathsfbf{b}$ ersetzen.

Dann ist die Lösung von $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{x}=\mathsfbf{b}$gleich

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{x}=\frac{1}{\vert\mathsfbf{A}\vert}\, \... ...A}_1\vert\cr \vert\mathsfbf{A}_2\vert\cr \vdots\cr \vert\mathsfbf{A}_n\vert}$}}$

Dieses Verfahren eignet sich nur, wenn $\mathsfbf{A}$ eine reguläre quadratische Matrix ist!!

(Eine Methode die hingegen immer funktioniert ist z.B. das Gaußsche Eliminationsverfahren.)

BEISPIEL
Gesucht ist die Lösung von

$$\pmatrix{ 9 & 11 & 3\cr 9 & 13 & 4\cr 2 & 3 & 1} \cdot \pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3} = \pmatrix{1\cr 2\cr 3}$$

$\vert\mathsfbf{A}\vert = \left\vert \begin{array} {rrr} 9 & 11 & 3\\ 9 & 13 & 4\\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right\vert = 1$

$\vert\mathsfbf{A}_1\vert = \left\vert \begin{array} {rrr} 1 & 11 & 3\\ 2 & 13 & 4\\ 3 & 3 & 1 \end{array} \right\vert = 12$

$\vert\mathsfbf{A}_2\vert = \left\vert \begin{array} {rrr} 9 & 1 & 3\\ 9 & 2 & 4\\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right\vert = -22$

$\vert\mathsfbf{A}_3\vert = \left\vert \begin{array} {rrr} 9 & 11 & 1\\ 9 & 13 & 2\\ 2 & 3 & 3 \end{array} \right\vert = 45$

Lösung:

$\mathsfbf{x}=\pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3}= {\displaystyle\frac{1}{\vert\mathsfb... ...rt\mathsfbf{A}_2\vert\cr \vert\mathsfbf{A}_3\vert} =\pmatrix{12\cr -22\cr 45}$