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Rechenregeln für Matrizen aus der Sicht linearer Abbildungen

Die inverse Matrix $\mathsfbf{A}^{-1}$ von $\mathsfbf{A}$ existiert genau dann, wenn die korrespondierende Abbildung $\varphi_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})=\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x}$bijektiv ist, wenn also

$$\varphi_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) = x_1\,\mathsfbf{a}_1 + ... ...thsfbf{o} \quad\Leftrightarrow\quad \mathsfbf{x} = \mathsfbf{o}$$

d.h. wenn $\mathsfbf{A}$ regulär ist.

Durch das Multiplizieren zweier Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ erhalten wir eine zusammengesetzte Abbildung:

$$(\varphi_\mathsfbf{A} \circ \varphi_\mathsfbf{B})(\mathsfbf{... ...\,\mathsfbf{x}) = (\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B})\,\mathsfbf{x}$$

Aus dieser Sichtweise wird klar, warum

$$(\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B})^{-1} = \mathsfbf{B}^{-1}\cdot\mathsfbf{A}^{-1}$$