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Lineare Abbildung und Rang  

Der Rang einer Matrix $\mathsfbf{A}$ gibt die Dimension des Bildes der korrespondierenden linearen Abbildung an:

$$\mbox{rank}(\mathsfbf{A}) = \dim(\mbox{Im}\,\varphi_\mathsfbf{A})$$

Die Dimension der Lösungsmenge $L$ eines linearen Gleichungssystems $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ erhalten wir durch den Kern dieser linearen Abbildung:

$$\dim(L) = \dim(\mbox{Ker}\,\varphi_\mathsfbf{A})$$

Mit Hilfe des Ranges können wir daher die Dimension der Lösungsmenge bestimmen:

$\dim(L) = \dim(\mbox{Ker}\,\varphi_\mathsfbf{A})$

$= \dim({\mathbb R}^n)-\dim(\mbox{Im}\,\varphi_\mathsfbf{A})$

$= n - \mbox{rank}(\mathsfbf{A})$