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Was ist eine lineare Abbildung?  

Die Abbildung in unserem Leontief-Modell

$$\varphi\colon\mathsfbf{x}\mapsto \mathsfbf{y} = \varphi(x) = \mathsfbf{V}\cdot\mathsfbf{x}$$

ist linear.

DEFINITION (LINEARE ABBILDUNG)
Eine Abbildung $\varphi\colon{\mathcal V}\to{\mathcal W}$ heißt  linear, falls für alle $\mathsfbf{x}, \mathsfbf{y} \in{\mathcal V}$

(1)

$\varphi(\mathsfbf{x} + \mathsfbf{y}) = \varphi(\mathsfbf{x}) + \varphi(\mathsfbf{y})$

(2)

$\varphi(\alpha\,\mathsfbf{x}) = \alpha\, \varphi(\mathsfbf{x})$

Die Abbildung $\mathsfbf{x}\in{\mathbb R}^n \mapsto \varphi_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) = \mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} \in{\mathbb R}^m$ist linear:

$\varphi(\mathsfbf{x}+\mathsfbf{y}) = \mathsfbf{A}\cdot(\mathsfbf{x}+\mathsfbf{y... ...x}+\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{y} = \varphi(\mathsfbf{x})+\varphi(\mathsfbf{y})$

$\varphi(\alpha\,\mathsfbf{x}) = \mathsfbf{A}\cdot(\alpha\,\mathsfbf{x}) = \alpha\, (\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{x}) = \alpha\, \varphi(\mathsfbf{x})$

Umgekehrt können wir jede lineare Abbildung $\varphi$ zwischen Vektorräumen durch eine (geeignete) Matrix $\mathsfbf{A}$darstellen: $\varphi(\mathsfbf{x}) = \mathsfbf{A}_\varphi\,\mathsfbf{x}$.

Das  Bild (Image) $\mbox{Im}\,\varphi = \{ \varphi(\mathsfbf{v})\vert\, \mathsfbf{v}\in{\mathcal V} \}$einer linearen Funktion ist ein Teilraum von $\mathcal W$.

Wenn wir $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{e}_i$ für den $i$-ten Einheitsvektor berechnen, dann erhalten wir gerade den $i$-ten Spaltenvektor $\mathsfbf{a}_i$ von $\mathsfbf{A}$, d.h.

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{e}_i = \mathsfbf{a}_i$$

Für einen beliebigen Vektor $\mathsfbf{x}$ erhalten wir daher

$$\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{x} = x_1\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf... ...x_1\,\mathsfbf{a}_1 + x_2\,\mathsfbf{a}_2 + x_3\,\mathsfbf{a}_3$$

Die Spaltenvektoren $\mathsfbf{a}_i$ bilden eine Basis des Bildraumes.

Der  Kern (das Urbild von $\mathsfbf{o}$)$\mbox{Ker}\,\varphi = \{ \mathsfbf{v}\vert\, \varphi(\mathsfbf{v}) = \mathsfbf{o}\}$ von $\varphi$,ist ein Teilraum von $\mathcal V$:

$\varphi(\mathsfbf{v})=\mathsfbf{o} \quad\Rightarrow\quad \varphi(\alpha\,\mathsfbf{v}) = \alpha\,\varphi(\mathsfbf{v}) = \mathsfbf{o}$

$\varphi(\mathsfbf{v}_1) = \varphi(\mathsfbf{v}_2) = \mathsfbf{o}$

$\quad\Rightarrow\quad \varphi(\mathsfbf{v}_1 + \mathsfbf{v}_2) = \varphi(\mathsfbf{v}_1) + \varphi(\mathsfbf{v}_2) = \mathsfbf{o} + \mathsfbf{o} = \mathsfbf{o}$

Zusammenhang zwischen diesen Vektorräume:

$$\dim({\mathcal V}) = \dim(\mbox{Im}\,\varphi) + \dim(\mbox{Ker}\,\varphi)$$