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Matrixgleichungen  

Für geeignet dimensionierte Matrizen gelten ähnliche Rechengesetze wie für reelle Zahlen (vgl. und).

Die Nullmatrix $\mathsfbf{0}$ spielt dabei die Rolle der Zahl 0, die Einheitsmatrix $\mathsfbf{I}$ die Rolle der Zahl 1.

Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

$$\mathsfbf{A}\cdot \mathsfbf{B} \not= \mathsfbf{B}\cdot \mathsfbf{A}$$

BEISPIEL
$(\mathsfbf{A} + \mathsfbf{B})^2 = \mathsfbf{A}^2 + \mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B} + \mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A} + \mathsfbf{B}^2$

$\mathsfbf{A}^{-1}\cdot (\mathsfbf{A}+\mathsfbf{B}) \cdot \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{A}^{-1}\cdot\mathsfbf{A}+\mathsfbf{A}^{-1}\mathsfbf{B}) \cdot \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{I}+\mathsfbf{A}^{-1}\mathsfbf{B}) \cdot \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}=$
$=(\mathsfbf{B}^{-1}+\mathsfbf{A}^{-1}\cdot \mathsfbf{B}\,\mathsfbf{B}^{-1})\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{B}^{-1}+\mathsfbf{A}^{-1})\mathsfbf{x}$
$=\mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}+\mathsfbf{A}^{-1}\,\mathsfbf{x}$

Wird eine Matrixgleichung mit einer Matrix multipliziert, so muß dies auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens von derselben Seite (entweder ,,von links`` oder ,,von rechts``) erfolgen!

BEISPIEL
Sei $\mathsfbf{B} + \mathsfbf{A}\,\mathsfbf{X} = 2\mathsfbf{A}$, wobei $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ bekannte reguläre Matrizen sind. Wie lautet $\mathsfbf{X}$?

$$\begin{array} {rcll} \mathsfbf{B} + \mathsfbf{A}\,\mathsfbf... ...sfbf{I} - \mathsfbf{A}^{-1}\cdot\mathsfbf{B} & \\ \end{array}$$

In dieser Gleichung ist natürlich darauf zu achten, daß die Matrizenoperationen tatsächlich definiert sind.