previous: Existenz der inversen Matrix up: Die inverse Matrix next: Matrixgleichungen

Berechnung der inversen Matrix  

Die inverse Matrix können wir mit Hilfe des Verfahrens von Gauß-Jordan berechnen:

(1) Wir stellen eine erweiterte Matrix auf, die links die zu invertierende Matrix und rechts die (entsprechend dimensionierte) Einheitsmatrix enthält.

(2) Wir formen die erweiterte Matrix mit den Umformungsschritten des Gaußschen Eliminationsverfahrens so um, daß die linke Seite zur Einheitsmatrix wird.

(3) Entweder ist das Verfahren erfolgreich, dann erhalten wir auf der rechten Seite die inverse Matrix.

(4) Oder die Matrix ist singulär (d.h. sie hat nicht vollen Rang), dann bricht das Verfahren ab. (Wir erhalten auf der linken Seite eine Zeile aus Nullen.)

BEISPIEL
Wir suchen die inverse Matrix zu

$$\mathsfbf{A}= \left( \begin{array} {rrr} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \\ -3 & -2 & -5 \\ \end{array} \right)$$

(1) Wir stellen die erweitere Matrix auf:

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0... ... & 1 & 0 \\ -3 & -2 & -5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

(2) Durch Umformen erhalten wir daraus

$$Z2\leftarrow 3\times Z2 - Z1,\, Z3\leftarrow Z3 + Z1$$

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0... ... -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Die ursprüngliche Matrix liegt nun in oberer Dreiecksform vor.

Weiteres Umformen ergibt

$$Z1\leftarrow Z1 - 6 \times Z3,\, Z2\leftarrow Z2-3\times Z3$$

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 2 & 0 & -5 & 0 & ... ...-4 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Und schließlich

$$Z1 \leftarrow Z1 - 2\times Z2$$

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 0 & 0 & 3 &-6 & 0... ...-4 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Zuletzt müssen wir noch die Diagonalmatrix in eine Einheitsmatrix umformen.

$$Z1 \leftarrow \frac{1}{3}\times Z1$$

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 1 & 0 & 0 & 1 &-2 & 0... ...-4 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

(3) Die Matrix ist daher invertierbar und ihre Inverse ist

$$\mathsfbf{A}^{-1}= \left( \begin{array} {rrr} 1 &-2& 0 \\ -4 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

BEISPIEL
Wir suchen die Inverse von

$$\mathsfbf{A}= \left( \begin{array} {rrr} 3 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 5 & 4 \\ \end{array} \right)$$

(1) Die erweitere Matrix:

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0... ...& 0 & 1 & 0 \\ 5 & 5 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

(2) Durch Umformen erhalten wir

$$\left( \begin{array} {rrr\vert rrr} 3 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0... ...2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & 3 \\ \end{array} \right)$$

(4) Die Matrix $\mathsfbf{A}$ hat nicht vollen Rang ist daher auch nicht invertierbar.