previous: Differenzengleichungen zweiter Ordnung up: Differenzengleichungen zweiter Ordnung next: Inhomogene lineare Differenzengleichungen

Homogene lineare Differenzengleichungen  

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_{t+2}+a_1\,y_{t+1}+a_2\,y_t = 0$}}$

Analog zu linearen DG machen wir den Ansatz

$$y_t = A\,\beta^t,\qquad A\,\beta \not=0$$

Einsetzen in die Differenzengleichung ergibt

$$A\,\beta^{t+2} + a_1\,A\,\beta^{t+1} + a_2\,A\,\beta^t = 0$$

Durch Division erhalten wir die  charakteristische Gleichung

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \beta^2 + a_1\,\beta + a_2 = 0$}}$

mit den Lösungen

$$\beta_{1,2} = -\frac{a_1}{2}\pm\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_2}$$

Fall:   $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} -a_2 \gt 0$}}$

$\quad\Rightarrow \beta_1\not=\beta_2$sind reell (zwei reelle Lösungen)

Die allgemeine Lösung lautet

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_t = A_1\,\beta_1^t + A_2\,\beta_2^t$}}$

BEISPIEL
  Lösung von $y_{t+2} -3\,y_{t+1} + 2\,y_t = 0$:

Der Ansatz $y_t=A\,\beta^t$ führt zur Charakteristischen Gleichung

$$\beta^2 - 3\,\beta + 2 =0$$

mit den Nullstellen $\beta_1 = 1$, $\beta_2 = 2$.

Allgemeine Lösung:

$$y_t = A_1\,1^t + A_2\, 2^t = A_1 + A_2\, 2^t$$

Fall:   $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 = 0$}}$

$\quad\Rightarrow \beta_1=\beta_2 = \beta$ist reell (eine doppelte reelle Nullstelle)

Analog zur Differentialgleichung erhalten wir die allgemeine Lösung

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_t = A_1\,\beta^t + A_2\,t\,\beta^t$}}$

BEISPIEL
Lösung von $y_{t+2} - 4\,y_{t+1} + 4\,y_t = 0$.

Aus der charakteristischen Gleichung

$$\beta^2 - 4\,\beta + 4 = 0$$

erhalten wir $\beta_{1,2} = 2$.

Die allgemeine Lösung lautet daher

$$y_t=A_1\,2^t + A_2\,t\,2^t$$

Fall:   $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 < 0$}}$

$\quad\Rightarrow \beta_1\not=\beta_2$sind komplex

$$\begin{array} {ll} \beta_1 = a + b\,i & a= -\frac{a_1}{2}\\... ...ne{\beta_1}\quad & b = \sqrt{a_2 - \frac{a_1^2}{4}}\end{array}$$

In Polarkoordinaten:

$$\beta_1 = r(\cos\theta + i\,\sin\theta) \quad\mbox{und}\quad \beta_2 = r(\cos\theta - i\,\sin\theta)$$

mit

$$r = \vert\beta\vert = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\frac{a_1^2}{4} + a_2 - \frac{a_1^2}{4}} = \sqrt{a_2}$$

$$\cos\theta = \frac{a}{r} = -\frac{a_1}{2\sqrt{a_2}} \qquad\m... ...\qquad \sin\theta = \frac{b}{r} = \sqrt{1-\frac{a_1^2}{4\,a_2}}$$

Daraus erhalten wir die (reellen) Lösungen:

$$\begin{array} {rcl} y_t &=& \tilde{A}_1 (a+b\,i)^t + \tilde... ...ce{(\tilde{A}_1-\tilde{A}_2)i}_{=A_2}\,\sin\theta t)\end{array}$$

(Formel von de Moivre)
Die allgemeine Lösung lautet daher

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_t = r^t\,(A_1\cos\theta t + A_2\sin\theta t)$}}$

BEISPIEL
  Lösung von $y_{t+2} + y_{t+1} + y_t = 0$.

Aus der charakteristischen Gleichung erhalten wir

$$\beta^2 + \beta + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\, i$$

kartesische Koordinaten: $a= -\frac{1}{2}$, $b= \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Polarkoordinaten: $r = \sqrt{1} = 1$, $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (da $\sin\theta=a$ und $\cos\theta = b$).

Die allgemeine Lösung lautet daher

$$y_t = (A_1\cos \frac{2\pi}{3}t + A_2\sin\frac{2\pi}{3} t)$$