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Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y''(x) + a_1 y'(x) + a_2 y(x) = 0$}}$

Ansatz: $y(x) = C \cdot e^{\lambda x}$

Ableitungen:

$$y'(x) = \lambda C e^{\lambda x} \quad{und}\quad y''(x) = \lambda^2 C e^{\lambda x}$$

$$C\,e^{\lambda x} (\lambda^2 + a_1 \lambda + a_2) = 0$$

Diese Gleichung wird erfüllt genau dann, wenn

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0$}}$

Diese Gleichung heißt  charakteristische Gleichung.

LöSUNG:

$$\lambda_{1,2} = -\frac{a_1}{2} \pm\sqrt{\frac{a_1^2}{4} - a_2}$$

Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} -a_2 \gt 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad \lambda_1\not=\lambda_2$ sind reell (zwei reelle Lösungen).

$$y_1(x)=C_1\,e^{\lambda_1 x} \quad{und}\quad y_2 (x) = C_2\, e^{\lambda_2 x}$$

sind Lösungen, und damit auch ihre Summe:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$}}$

BEISPIEL
Lösung von $y'' -3y' + 2y = 0$

Der Ansatz $y(x) = e^{\lambda x}$ führt zur charakteristischen
Gleichung

$$\lambda^2 - 3\lambda + 2 =0$$

mit den Nullstellen

$$\lambda_1 = 1,\, \lambda_2 = 2$$

allgemeine Lösung:

$$y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$$

Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 = 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ ist reell (doppelte Nullstelle)

$$y_1(x) = C_1 e^{\lambda x}$$

Zweite Lösung: $y_2(x) = C_2\,x\,e^{\lambda x}$

Zeigen: $y_2(x)$ ist Lösung

$$\begin{array} {rcl} y_2'(x) & = & (\lambda x + 1)\, C_2 e^{... ...& = & (\lambda^2 x + 2 \lambda)\, C_2\,e^{\lambda x}\end{array}$$

Es gilt aber:

$\lambda = - \frac{a_1}{2}$ und $\frac {a_1^2}{4} - a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = \frac {a_1^2}{4}$

Eingesetzt:

$[(\lambda^2 x + 2 \lambda) + a_1 (\lambda x + 1) + a_2 x] C_2\,e^{\lambda x}$

$\quad =[(\frac {a_1^2}{4} x - a_1) + a_1 (-\frac {a_1}{2} x + 1) + \frac{a_1^2}{4} x ]C_2\,e^{\lambda x}$

$\quad =[\frac{a_1^2}{4}x-a_1-\frac{a_1^2}{2}x+a_1+\frac{a_1^2}{4}x] C_2\,e^{\lambda x} = 0$

ALLGEMEINE LöSUNG:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x) = C_1\,e^{\lambda x} + C_2\,x\,e^{\lambda x}$}}$

BEISPIEL
Lösung von $y'' - 4y' + 4y = 0$

charakteristische Gleichung:

$$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1,2} = 2$$

allgemeine Lösung:

$$y(x)=(C_1 + C_2 x) \cdot e^{2x}$$

Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 < 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad \lambda_1\not=\lambda_2$ sind komplex

$$\begin{array} {ll} \lambda_1 = a + bi & a= -\frac{a_1}{2}\\... ... \sqrt{\left\vert \frac{a_1^2}{4} - a_2 \right\vert}\end{array}$$

Lösungen:

$$\begin{array} {rcl} y_1(x) & = & \tilde{C}_1\, e^{(a+bi)} =... ...}_2\, e^{(a-bi)x} = \tilde{C}_2\, e^{ax} \, e^{-ibx}\end{array}$$

Reelle Lösungen:

$$\begin{array} {rcl} y(x) & = & y_1 (x) + y_2 (x) \\ &=& \t... ...derbrace{(\tilde{C}_1-\tilde{C}_2)i}_{=C_2}\sin(bx)]\end{array}$$

(Eulersche Formel)

ALLGEMEINE LöSUNG:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x)= e^{ax}\cdot[ C_1 \cos(bx) + C_2 \sin(bx)]$}}$

mit

$$a= -\frac{a_1}{2} \quad{und}\quad b = \sqrt{\left\vert \frac{a_1^2}{4} - a_2 \right\vert}$$

BEISPIEL
$y'' + y' + y = 0$

charakteristische Gleichung:

$$\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$$

$$\mbox{Realteil: } a= -\frac{1}{2} \quad \mbox{Imaginärteil: } b= \frac{\sqrt{3}}{2}$$

allgemeine Lösung:

$$y(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [C_1 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + C_2 \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x]$$

Oszillierende Lösungen der homogenen linearen DG: