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Die Gaußsche Zahlenebene

  Jeder komplexer Zahl $z=a+b\,i$ wird ein Punkt $(a,b)$ in der Ebene zugordnet.  

$z=+b\,i$ kann auch durch den Abstand $r$dieses Punktes vom Ursprung und dem Winkel $\theta$festgelegt werden.

$(a,b)$ $\ldots$  kartesische Koordinaten,
$(r,\theta)$ $\ldots$   Polarkoordinaten
der komplexen Zahl $z$.

Es gilt

$$\cos\theta = \frac{a}{r} \qquad\mbox{und}\qquad \sin\theta = \frac{b}{r}$$

und somit

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z = a + b\,i = r(\cos\theta + i\,\sin\theta)$}}$

Der Abstand $r$ vom Ursprung heißt der  Absolutbetrag von $z$ und wird mit $\vert z\vert$ bezeichnet.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \vert z\vert = r = \sqrt{a^2+b^2}$}}$

Multiplikation und Division ist in dieser Darstellung:

$$\begin{array} {rcl} z_1\cdot z_2 & = & r_1\cdot r_2 (\cos(... ...os(\theta_1-\theta_2) + i\,\sin(\theta_1-\theta_2))\end{array}$$

Potenzen durch die   Formel von de Moivre:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z^n = r^n(\cos\,n\theta + i\,\sin\,n\theta)$}}$

Es gilt folgende wichtige Relation: (  Eulersche Formel)

$\mbox{\ovalbox{$\begin{Beqnarray*} e^{ix} &=& \cos x + i \sin x\\ e^{-ix} & = & \cos x - i \sin x\end{Beqnarray*}$}}$

(Beweis durch Einsetzen in Taylorreihe)

Außerdem

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z = a+b\,i = \vert z\vert\,e^{i\theta}$}}$