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Grenzwert einer Funktion  

Was passiert mit dem Funktionswert einer Funktion $f$, wenn das Argument $x$ gegen einen bestimmten Wert $x_0$ strebt?

DEFINITION (LIMES)
Wenn für jede Folge von Argumenten $\langle x_n\rangle\to x_0$ die Folge der Funktionswerte $\langle f(x_n)\rangle$ gegen eine Zahl $a$ konvergiert, so heißt $a$ der  Grenzwert (oder Limes) der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$. Wir schreiben dafür

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=a\quad\mbox{ oder }\quad f(x)\to a\mbox{ für }x\to x_0$}}$

$x_0$ muß nicht in der Definitionsmenge liegen und kann daher auch $\infty$ sein. Genauso muß $a$ nicht in der Wertemenge der Funktion liegen.

Für Limiten von Funktionen gelten analoge Rechenregeln wie für Grenzewerte von Folgen.

Natürlich können wir nicht jede Folge von Argumenten untersuchen. Für einfache Funktionen eignet sich aber folgende Vorgangsweise:

(1)

Wir zeichnen den Graphen der Funktion.

(2)

Wir zeichnen den Wert $x_0$ auf der $x$-Achse ein.

(3)

Wir setzen den Bleistift auf dem Graphen und führen ihn auf dem Graphen von rechts bis zum $x_0$-Wert.

(4)

Wir lesen den $y$-Wert dieses Punktes von $y$-Achse ab. Dieser Wert heißt der   rechtsseitige Grenzwert von $f$ an der Stelle $x_0$: $$\lim_{x\to x_0\atop x\gt x_0} f(x)$$.

(5)

Analog erhalten wir von der linken Seite den    linksseitige Grenzwert von $f$ an der Stelle $x_0$: $$\lim_{x\to x_0\atop x<x_0} f(x)$$.

(6)

Wenn beide Limiten gleich sind, so existiert der Grenzwert und es gilt
$$\lim_{x\to x_0} f(x)= \lim_{x\to x_0\atop x\gt x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0\atop x<x_0} f(x)$$.

 

$\lim_{x\to 1\atop x<x_0} f(x)=0{,}5$

$\lim_{x\to 1\atop x\gt x_0} f(x) =1{,}5$

d.h., der Grenzwert an der Stelle $x_0=1$ existiert nicht.

Der Grenzwert $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 0$ existiert hingegen.