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Grenzwerte von Folgen  

Betrachten wir die Folge $$\left<\frac{(-1)^n}{n}\right\gt$$:

Die Folgeglieder ,,streben`` mit wachsendem $n$gegen 0. Wir sagen, die Folge $\bigl<a_n\bigr\gt$  konvergiert gegen .

DEFINITION (LIMES)
Eine Zahl $a\in{\mathbb R}$ heißt  Grenzwert (oder Limes) einer Folge $\bigl<a_n\bigr\gt$, wenn es für jedes noch so kleine Intervall $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ ein $a_{_N}$ gibt, sodaß $a_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ für alle $n\geq N$ (m.a.W.: alle Folgeglieder ab $a_{_N}$ liegen im Intervall).

Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt  konvergent. Sie konvergiert gegen ihren Grenzwert.

Wir schreiben dafür

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \bigl<a_n\bigr\gt\to a\quad\mbox{oder}\quad \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$}}$

Nicht jede Folge besitzt einen Grenzwert. So eine Folge heißt dann  divergent.

BEISPIEL
Die Folge $\bigl<n^2\bigr\gt=\bigl<1,4,9,16,25,\ldots\bigr\gt$ besitzt keinen Grenzwert, da sie größer als jede beliebige natürliche Zahl wird.

Diese Folge ,,strebt`` allerdings gegen $\infty$.Derartige Folgen heißen  bestimmt divergent gegen $\infty$ (bzw. $-\infty$). Wir schreiben dafür

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty\quad \mbox{(bzw.\ }\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty\mbox{)}$}}$

Folgen, die weder konvergent noch bestimmt divergent sind heißen ( unbestimmt) divergent.

BEISPIEL
Die Folge $\bigl<(-1)^n\bigr\gt=\bigl<-1,1,-1,1,-1,\ldots\bigr\gt$ besitzt keinen Grenzwert. Der Grenzwert ist weder 1 oder $-1$, noch strebt die Folge gegen $\infty$ oder $-\infty$. Sie ist daher (unbestimmt) divergent.

Die Grenzwerte wichtiger Folgen.

$$\lim\limits_{n\to\infty} c c\, \mbox{ für alle } c\in{\mathbb R}$$ =

$$\lim\limits_{n\to\infty} n^\alpha \left\lbrace \begin{array}[c] {rl} +\infty \hiddenampersand \mbox{für }\alp... ...ine 0 \hiddenampersand \mbox{für }\alpha<0\hiddennewline \end{array} \right.$$ =

$$\lim\limits_{n\to\infty} q^n \left\{ \begin{array}[c] {rl} +\infty \hiddenampersand \mbox{für }q\gt 1\hidd... ...xists \hiddenampersand \mbox{für }q\leq{}-1\hiddennewline \end{array} \right.$$ =

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^\alpha} \lim\limits_{n\to\infty} n^{-\alpha}$$ =

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{q^n} \lim\limits_{n\to\infty} q^{-n}$$ =

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^\alpha}{q^n} \left\{ \begin{array}[c] {rl} 0 \hiddenampersand \mbox{für }\vert q\vert\gt 1... ...sts \hiddenampersand \mbox{für }0\gt q\gt-1\hiddennewline \end{array} \right.$$ =

Mit Hilfe von Rechenregeln lassen sich Grenzwerte komplexerer Folgen auf die Grenzwerte einfacherer (bekannter) Folgen zurückführen.

Im folgenden seien $\bigl<a_n\bigr\gt$ und $\bigl<b_n\bigr\gt$ konvergente Folgen mit $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ und $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$. $\bigl<c_n\bigr\gt$ sei eine beschränkte Folge.

 

$$\lim\limits_{n\to\infty} (c\cdot a_n+d) = c\cdot a+d$$ (1)

$$\lim\limits_{n\to\infty} (a_n + b_n) = a+b$$ (2)

$$\lim\limits_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n) = a\cdot b$$ (3)

$$\lim\limits_{n\to\infty} {\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}} b\not=0$$ (4)

$$\lim\limits_{n\to\infty} (a_n\cdot c_n) = 0 a=0$$ (5)

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n^k = a^k$$ (6)

Ausdrücke der Form $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ oder $0\cdot\infty$ sind nicht definiert. Der Grenzwert könnte jeder beliebige Wert bzw. die Folge divergent sein. Aus $\lim=\frac{1}{0}$ läßt sich nicht schließen, daß $\lim=\infty$ (oder $\lim=-\infty$).

BEISPIEL

$\begin{array} {rcl} {\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^2-1... ...playstyle \frac{\infty}{\infty}\qquad\mbox{( = nicht definiert)}} \end{array}$

Trick: Kürzen durch die
höchste vorkommende Potenz im Nenner.

$\begin{array} {rcl} {\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^2-1... ...-n^{-2}}}\\ [4ex] &=& {\displaystyle\frac{1}{1}}\\ [2ex] &=& 1 \end{array}$