previous: Grenzwert einer Funktion up: Reelle Funktionen next: Differentialrechnung

Stetigkeit  

Beim Zeichen von Graphen fällt auf, daß es Funktionen gibt, die sich ohne Absetzen des Bleistifts zeichnen lassen. Solche Funktionen heißen  stetig. Andere Funktionen besitzen Sprungstellen und man muß beim Zeichnen den Bleistift vom Papier heben.
Solche ,,Sprungstellen`` heißen  Unstetigkeitsstellen der Funktion. An allen anderen Punkten ist die Funktion jedoch stetig. Formal läßt sich das so ausdrücken:

DEFINITION (STETIGKEIT)
Eine Funktion $f$ heißt  stetig an der Stelle $x_0\in D$, falls $$\lim_{x\to x_0} f(x)$$ existiert und $$\lim_{x\to x_0}=f(x_0)$$. Die Funktion heißt stetig, falls sie in allen Punkten des Definitionsbereichs stetig ist.

Vorgangsweise für einfache Funktionen:

(1)

Wir zeichnen den Graphen der Funktion.

(2)

In allen Punkten des Definitionsbereichs, in denen wir beim Zeichnen nicht den Bleistift absetzen müssen, ist die Funktion stetig.

(3)

In allen Punkten des Definitionsbereichs in denen wir absetzen müssen ist, die Funktion nicht stetig.

BEISPIEL
Die Funktion in obiger Abbildung ist überall stetig außer im Punkt $x=1$.

BEISPIEL
Die Funktion $f\colon{\mathbb R}\setminus\{0\}\to{\mathbb R},\,x\mapsto\frac{1}{x}$ ist überall stetig. Die Sprungstelle bei 0 gehört nicht zum Definitionsbereich.