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Ist $f$ Injektiv?

Unsere Aufgabe ist es festzustellen, wieviele Urbilder jedes $y\in W$ besitzt. Dazu eignet sich der ,,Horizontalen-Test``.

(1)

Wir zeichnen den Graphen der zu untersuchenden Funktion.

(2)

Wir zeichnen ein $y\in W$ auf der $y$-Achse ein und legen eine Gerade parallel zur $x$-Achse (Horizontale) durch diesen $y$-Wert.

(3)

Die Anzahl der Schnittpunkte von Horizontale und Graph ist die Anzahl der Urbilder von $y$.

(4)

Wir wiederholen (2) und (3) für eine repräsentative Auswahl von $y$-Werten.

(5)

Interpretation:
Schneidet jede Horizontale den Graphen in

(a)

höchstens einem Punkt, so ist $f$ injektiv;

(b)

mindestens einem Punkt, so ist $f$ surjektiv;

(c)

genau einem Punkt, so ist $f$ bijektiv.

BEISPIEL
Die Funktion $f\colon [\,-1,2\,]\to {\mathbb R},\,x\mapsto x^2$ ist weder injektiv und noch surjektiv.

ACHTUNG:

Definitions- und Wertemenge sind Bestandteil der Funktion.