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Homogene lineare Differenzengleichungen  

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_{t+1}+a\,y_t = 0$}}$


Vermuten wegen des obigen Beispiels:

\begin{displaymath}
y_t = A\,\beta^t, \quad A\,\beta\not=0,\end{displaymath}

wobei $A$ eine reelle Zahl ist (allgemeine Lösung).

Die Differenzengleichung muß für alle $t$ gelten:

\begin{displaymath}
y_{t+1}+a\,y_t = 
A\,\beta^{t+1} + a\, A\,\beta^t = 0.\end{displaymath}

Division durch $A\,\beta^t$ ergibt $\beta+a = 0$ und somit $\beta=-a$.


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_t = A\,(-a)^t$}}$




Verhalten der Lösung hängt vom Parameter $a$ ab.

Es gibt sieben Bereiche für $a$(Abbildung), die sich kurz beschreiben lassen mit

oszillierend $\Leftrightarrow$ $a\gt$
konvergent $\Leftrightarrow$ $\vert a\vert<1$

 

\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1.05mm}
 
\begin{tabular}[t]
{*{1}{c@{\h...
 ....23)(40,32.54)(50,2.06)\end{picture}&
\\ [0ex]
$a\gt 1$\end{tabular}\end{figure}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung