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Was ist eine Differenzengleichung?  

In vielen Fällen ist eine Kenngröße nur zu bestimmten diskreten Zeitenpunkten $t_1, t_2, t_3, \ldots$ bekannt.

Wir beschreiben die Kenngröße durch eine Abbildung ${\mathbb N}\mapsto y(t)$, i.e. eine Folge Schreiben $y_t$ anstatt $y(t)$.

Wir müssen Differentialquotienten $\frac{dy}{dt}$ durch den  Differenzenquotienten $\frac{\Delta y}{\Delta t}$ ersetzen.

Unter der Annahme, daß $t$ nur ganzzahlige Werte annimmt (d.h. $\Delta t=1$), dann wird aus diesem Differenzenquotient die  ersten Differenz $\Delta y$.

Diese Differenz hängt davon ab, zwischen welchen Zeitpunkten diese Differenz gebildet wird. Schreiben daher:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \Delta y_t = y_{t+1}-y_t$}}$

Die $k$-ten Ableitung $\frac{d^k y}{dt^k}$ ersetzen wir durch die  Differenz der Ordnung $k$:

$$\Delta^k y_t = \Delta(\Delta^{k-1}y_t) = \Delta^{k-1} y_{t+1} - \Delta^{k-1} y_t$$

Z.B.  zweite Differenz:

$$\begin{array} {rcl} \Delta^2 y_t &=& \Delta(\Delta y_t) = ... ... - (y_{t+1} - y_t)\\ &=& y_{t+2} - 2\,y_{t+1} + y_t\end{array}$$

DEFINITION (DIFFERENZENGLEICHUNG)
Eine  Differenzengleichung ist eine Gleichung, die eine Differenz enthält. Sie heißt von $n$-ter Ordnung, wenn die höchste Ordnung der vorkommenden Differenzen gleich $n$ ist.

BEISPIEL
 

$$\Delta y_t = 3$$ Differenzengleichung erster Ordnung

$$\Delta y_t = \frac{1}{2}y_t$$ Differenzengleichung erster Ordnung

$$\Delta^2 y_t + 2\,\Delta y_t = -3$$ Differenzengleichung zweiter Ordnung

Für Differenzen gelten ähnliche Rechenregeln wie für Differentialquotienten:

 

$$\bullet \Delta(c\, y_t) = c\,\Delta y_t$$

$$\bullet$$ Summenregel

$$\Delta(y_t + z_t) = \Delta y_t + \Delta z_t$$

$$\bullet$$ Produktregel

$$\Delta(y_t\cdot z_t) = y_{t+1}\,\Delta y_t + z_t\,\Delta y_t$$

$$\bullet$$ Quotientenregel

$$\Delta\left(\frac{y_t}{z_t}\right) = \frac{z_t\,\Delta y_t - y_t\,\Delta z_t}{y_t\,y_{t+1}}$$

Äquvalente Darstellung für Differenzengleichungen enthält keinen $\Delta$-Ausdruck (wird im folgenden verwendet).

BEISPIEL
Die Differenzengleichungen aus obigen Beispiel lassen sich darstellen als


$\Delta y_t = 3 \,\Leftrightarrow\, y_{t+1}-y_t = 3 \quad\Leftrightarrow\quad y_{t+1} = y_t+3$


$\Delta y_t = \frac{1}{2}y_t \,\Leftrightarrow\, y_{t+1}-y_t = \frac{1}{2}y_t \quad\Leftrightarrow\quad y_{t+1} = \frac{3}{2}y_t$


$\Delta^2 y_t + 2\,\Delta y_t = -3 \,\Leftrightarrow\,$

$\,\Leftrightarrow\, (y_{t+2} - 2\,y_{t+1} + y_t) + 2\,(y_{t+1}-y_t) = -3$

$\,\Leftrightarrow\quad y_{t+2} = y_t - 3$

Aufgabe:
Finde eine Folge $y_t$, die die angegebene Rekursionsformel für alle $t$ erfüllt.