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Folgen

In einem Sparbuch sind alle Buchungsposten (Gutschriften, Belastungen, usw.) für ein bestimmtes Sparkonto, aufgelistet -- geordnet nach dem Buchungstag. Die Buchungsbeträge in den einzelnen Zeilen bilden somit eine ,,geordnete Menge`` von (reellen) Zahlen.

DEFINITION (FOLGE)
Eine   Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen  Glieder der Folge.

Formaler ausgedrückt:
Eine Folge ist eine Abbildung von ${\mathbb N}$ in ${\mathbb R}$:

$$f\colon{\mathbb N}\to{\mathbb R}, i\mapsto a_i$$

Folgen werden mit $\bigl<a_i\bigr\gt _{i=1}^n$oder kurz $\bigl<a_i\bigr\gt$ bezeichnet.

(Es sind auch runde Klammern üblich: $(a_i)$.)

Folgen können definiert werden

• durch  Aufzählen der Glieder,
• durch Angabe eines   Bildungsgesetzes, oder
• durch  Rekursion (d.h. jedes Folgeglied wird durch seine(n) Vorgänger bestimmt).

BEISPIEL

$$\bigl<a_i\bigr\gt=\bigl<1,3,5,7,9,\ldots\bigr\gt$$ Aufzählung:

$$\bigl<a_i\bigr\gt=\bigl<2\,i-1\bigr\gt$$ Bildungsgesetz:

$$\bigl<a_i\bigr\gt a_1=1 a_{i+1}=a_i+2$$ Rekursion:

Charakterisierungen von Folgen $\bigl<a_i\bigr\gt$:

BEZEICHNUNG DEFINITION

$$a_{i+1}\geq{}a_i$$ monoton steigend

$$a_{i+1}\leq{}a_i$$ monoton fallend

$$a_{i+1}\cdot a_i < 0$$ alternierend d.h. das Vorzeichen wechselt.

$$\vert a_i\vert\leq{}M M\in{\mathbb R}$$ beschränkt

BEISPIEL

$\bigl<1,2,3,4,5,\ldots\bigr\gt$ ist monoton steigend

$\bigl<1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\bigr\gt$ ist monoton fallend

$\bigl<1,-2,3,-4,5,\ldots\bigr\gt$ ist alternierend

$\bigl<0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16}\ldots\bigr\gt$ ist beschränkt (durch $M=1$)