previous: Was ist die Ableitung? up: Die Ableitung einer Funktion next: Höhere Ableitungen

Differentiationsregeln  

 

$$\bullet (c\cdot f(x))' = c\cdot f'(x)$$

$$\bullet$$ Summenregel

$$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$

$$\bullet$$ Produktregel

$$(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$$

$$\bullet$$ Kettenregel

$$(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

$$\bullet$$ Quotientenregel

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = {f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)\over (g(x))^2}$$

BEISPIEL
$\left(3\,x^3+2\,x-4\right)' = 3\cdot 3\cdot x^2 + 2\cdot 1 - 0 = 9\,x^2 +2$



$\left(e^x\cdot x^2\right)'= \left(e^x\right)'\cdot x^2 + e^x\cdot\left(x^2\right)'= e^x\cdot x^2 + e^x\cdot 2\,x$



$\left((3\,x^2+1)^2\right)'= 2\,(3\,x^2+1)\cdot 6\,x$



$\left(\sqrt{x}\right)'= \left(x^{1\over 2}\right)'= \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{2\sqrt{x}}$



$$\left(a^x\right)'= \left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)'= e^{\ln(a)\cdot x}\cdot\ln(a) = a^x\,\ln(a)$$



$$\left(\frac{x^4+4\,x^2+4}{x^2+2}\right)'=$$

$$=\frac{(4\,x^3+8\,x)\cdot(x^2+2) - (x^4+4\,x^2+4)\cdot(2\,x)}{(x^2+2)^2}$$



$$\left(\frac{x^4+4\,x^2+4}{x^2+2}\right)'=$$

$$=\left(\frac{(x^2+2)^2}{x^2+2}\right)'= \left(x^2+2\right)'= 2\,x$$