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Der zweidimensionale Fall  

Im lokalen Minimum $\mathsfbf{x}_0$ unseres Beispiels berührt die Gerade der Nebenbedingung eine Isoquante.

Daher müssen in diesem Punkt die Gradienten von $f$ und $g$,,parallel`` sein (der Gradient steht immer normal auf die Niveaulinien), d.h.

$$\nabla f(\mathsfbf{x}_0) = \lambda\,\nabla g(\mathsfbf{x}_0)$$

wobei $\lambda\in{\mathbb R}$ eine (zunächst unbekannte) Proportionalitätskonstante ist. Da $\mathsfbf{x}_0$ auch die Nebenbedingung erfüllen muß erhalten wir die folgende notwendige Bedingung:

$$\begin{array} {rcl} f_{x_1}(\mathsfbf{x}_0) &=& \lambda\,g_... ...x_2}(\mathsfbf{x}_0)\\ c-g(\mathsfbf{x}_0) &=& 0\\ \end{array}$$

Wir erzeugen uns aus $f$, $g$ und einer Hilfsvariablen $\lambda$eine neue Funktion, die  Lagrange-Funktion

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle L(x_1,x_2;\lambda)=f(x_1,x_2)+\lambda\,(c-g(x_1,x_2))$}}$

Die Hilfsvariable $\lambda$ heißt  Lagrange-Multiplikator.

Wenn die Nebenbedingung erfüllt ist, so stimmen $f$ und $L$ überein. Die stationären Punkte der Lagrange-Funktion erfüllen gerade obige Bedingungen, d.h. sie sind die gesuchten stationären Punkte der Funktion $f$ unter der Nebenbedingung $g(x,y)=0$:

$$\begin{array} {rcl} L_{x_1} &=& f_{x_1}+\lambda g_{x_1} = 0... ...+\lambda g_{x_2} = 0\\ L_\lambda &=& c-g(x_1,x_2)=0\end{array}$$

 

BEISPIEL
Wir suchen die stationären Punkte von (vgl.)

$$f(x,y) = x^2 + 2\,y^2$$

unter der Nebenbedingung

$$g(x,y) = x + y = 3$$

Die Lagrange-Funktion lautet:

$$L(x,y;\lambda) = (x^2 + 2\,y^2) + \lambda\,(3-x-y)$$

Die stationären Punkte von $L$ erhalten wir durch Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen:

$$\begin{array} {rcl} L_x &=& 2\,x - \lambda = 0\\ L_y &=& 4\,y - \lambda = 0\\ L_\lambda &=& 3 - x - y = 0 \end{array}$$

Dieses (lineare) Gleichungssystem hat die Lösung
$x=2$, $y=1$ und $\lambda=4$.

Der einzige stationäre Punkt von $f$ unter der Bedingung $g(x,y)=3$ ist somit $\mathsfbf{x}_0 = (2,1)$.