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Taylorreihen II  

Die Idee der  Taylorreihen kann auch für Funktionen in mehreren Variablen verwirklicht werden.

Ein Polynom in zwei Variablen hat die allgemeine Form

$$\begin{array} {rcl} P(x_1,x_2) & = & a_0\\ &&{}+a_{10}\,x_... ...}\,x_1^n+a_{n1}\,x_1^{n-1}\,x_2+\cdots+a_{nn}\,x_2^n\end{array}$$

Wenn wir die Funktion $f(x_1,x_2)$ an der Stelle $\mathsfbf{x}=\mathsfbf{o}$ nur durch ein Polynom 1. Ordnung approximieren, dann erhalten wir das totale Differential und es gilt

$$a_{10}=f_{x_1}(\mathsfbf{o}) \quad\mbox{und}\quad a_{11}=f_{x_2}(\mathsfbf{o})$$

Allgemein gilt für die Koeffizienten

$$a_{kj}=\frac{1}{k!}\,{k\choose j}\, \frac{\partial^k f(\math... ...1)^{k-j}\,(\partial x_2)^j}\quad k\in{\mathbb N},\,j=1,\ldots,i$$

Die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung an der Stelle $\mathsfbf{o}$lautet

$$\begin{array} {l} f(\mathsfbf{x}) = f(\mathsfbf{o}) \\ \qu... ...frac{1}{2}\,f_{x_2x_2}(\mathsfbf{o})\,x_2^2 + \cdots\end{array}$$

Wir fassen die zweiten partiellen Ableitungen von $f$an der Stelle $\mathsfbf{o}$ zu einer $2\!\times\!2$-Matrix zusammen. Diese Matrix wird als  Hesse-Matrix von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{o}$ bezeichnet.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{o})= \pmatrix{ f_{x_1x_... ..._2}(\mathsfbf{o}) \cr f_{x_2x_1}(\mathsfbf{o}) & f_{x_2x_2}(\mathsfbf{o}) }$}}$

Die quadratischen Glieder der Taylorreihe bilden eine quadratische Form.  

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f(\mathsfbf{x})=f(\mathsfbf{o})+\nabla f(\mathsfb... ...2}}\mathsfbf{x}^t\cdot\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{o})\cdot\mathsfbf{x} + \cdots$}}$

Im allgemeinen Fall mit $n$ Variablen lautet die Hesse-Matrix an der Stelle $\mathsfbf{x}_0$:

$$\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)= \pmatrix{ f_{x_1x_1}(\maths... ...{x_nx_1}(\mathsfbf{x}_0) & \ldots & f_{x_nx_n}(\mathsfbf{x}_0)}$$

Die Taylorreihe an der Stelle $\mathsfbf{x}_0$:

$$f(\mathsfbf{x})=f(\mathsfbf{x}_0)+\nabla f(\mathsfbf{x}_0)^t... ...H}_f(\mathsfbf{x}_0)\cdot(\mathsfbf{x}-\mathsfbf{x}_0) + \cdots$$

BEISPIEL
Wir suchen das Taylorpolynom 2. Ordnung von

$$f(x,y)=e^{x^2-y^2}+x$$

an der Stelle $\mathsfbf{x}_0=\mathsfbf{o}$.

$$\begin{array} {lcl} f(x,y)=e^{x^2-y^2}+x & \Rightarrow & ... ...^2+y^2} & \Rightarrow & f_{yy}(\mathsfbf{o})=-2 \end{array}$$

Das Taylorpolynom lautet daher

$$\begin{array} {ll} f(\mathsfbf{x}) &\approx f(\mathsfbf{o}... ... }\cdot\pmatrix{x\cr y}\\ [3ex] &=1+x + x^2-y^2 \end{array}$$