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Das totale Differential  

Wir wollen eine Funktion $f$ durch eine lineare Funktion so approximieren, daß der Fehler möglichst klein ist. Den Funktionswert an einer Stelle $\mathsfbf{x}+\mathsfbf{h}$ können wir näherungsweise analog zur Richtungsableitung berechnen.

$$f(\mathsfbf{x}+\mathsfbf{h}) - f(\mathsfbf{x}) \approx f_{x_1}(\mathsfbf{x})\,h_1 + \ldots + f_{x_n}(\mathsfbf{x})\,h_n$$

Das totale Differential erhalten wir, wenn wir die $h_i$ durch ,,unendlich kleine`` Differentiale ersetzen.

DEFINITION (TOTALES DIFFERENTIAL)
Die lineare Funktion

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle df = f_{x_1}(\mathsfbf{x})\,dx_1 + \ldots + f_{x_n}(\mathsfbf{x})\,dx_n$}}$

heißt das   totale Differential von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{x}$.

BEISPIEL
Wir suchen das totale Differential von

$$f(x_1,x_2)=x_1^2+3\,x_1\,x_2$$

an der Stelle $\mathsfbf{x}=(3,2)$.

$$\begin{array} {rcl} df &=& f_{x_1}(3,2)\,dx_1 + f_{x_2}(3,2)\,dx_2\\ &=& 12\,dx_1 + 9\,dx_2 \end{array}$$

Wir berechnen nun $f(3{,}1;1{,}8)$ mit Hilfe des totalen Differentials an der Stelle $(3;2)$.

$$\begin{array} {rcl} f(3{,}1;1{,}8)&\approx& f(3;2)+df\\ &=&27+ 12\cdot 0{,}1 + 9\cdot (-0{,}2)\\ &=&26,40 \end{array}$$

(Der exakte Wert ist $f(3{,}1;1{,}8)=26{,}35$.)

$\mathsfbf{h}=(\mathsfbf{x} + \mathsfbf{h}) - \mathsfbf{x} = \pmatrix{ 3{,}1\cr 1{,}8 } - \pmatrix{ 3\cr 2 } = \pmatrix{ 0{,}1\cr -0{,}2 }$