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Implizite Funktionen  

Durch $F(x_1,x_2)=0$ wird eine Abhängigkeit von $x_1$ und $x_2$definiert ( implizite Funktion).

In kleinen Intervallen ist es daher unter Umständen möglich, $x_1$ als Funktion von $x_2$ darzustellen und umgekehrt ( explizite Funktion):

$$x_1=f(x_2)$$

Wenn $F(x,y)=a\,x+b\,y$ eine lineare Funktion ist, dann erhalten wir (vorausgesetzt $b\not=0$):

$$f(x) = y = -\frac{a}{b} x \qquad\mbox{und}\qquad \frac{df}{dx} = -\frac{a}{b}$$

Wenn $F$ nicht linear ist, dann können wir die Ableitung von $f$ berechnen, indem wir die Funktion lokal durch das totale Differential von $F$ ersetzen.

$$dF=F_{x_1}\,dx_1 + F_{x_2}\,dx_2=0$$

Daraus erhalten wir

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{dx_1}{dx_2}=-\frac{F_{x_2}}{F_{x_1}}$}}$

Wir sehen außerdem, daß die Funktion lokal genau dann existiert, wenn $F_{x_1}(x_1,x_2)\not=0$ ist.

 

Das gleiche könne wir nun mit Funktionen in mehreren Variablen machen. Durch $F(x_1,x_2,\ldots, x_n)=0$ erhalten wir wieder eine implizite Funktion. Es ist nun (meist) wieder möglich, die Variable $x_1$ als Funktion aller anderen Variablen darzustellen:

$$x_1=f(x_2,x_3,\ldots, x_n)$$

Durch das totale Differential können wir etwa die partiellen Ableitung von $f$ nach $x_2$ berechnen:

$$0 = dF = F_{x_1}\,dx_1+F_{x_2}\,dx_2+F_{x_3}\cdot 0 + \cdots$$

Wir erhalten

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{\partial x_i}{\partial x_j}= -\frac{F_{x_j}}{F_{x_i}}$}}$

BEISPIEL
Gesucht ist $\frac{dx}{dy}$ der impliziten Funktion

$$F(x,y)=x^2+y^2-1=0$$

$$\frac{dx}{dy}=-\frac{F_y}{F_x}=-\frac{2y}{2x}=-\frac{y}{x}$$

BEISPIEL
Gesucht ist $\frac{\partial x_2}{\partial x_3}$ der impliziten Funktion

$$F(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2\,x_3+x_3^2-x_3\,x_4-1=0$$

$$\frac{\partial x_2}{\partial x_3} =-\frac{F_{x_3}}{F_{x_2}} =-\frac{x_2+2\,x_3-x_4}{x_3}$$