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Das Differential  

Unser Auto ist bereits seit 2 Stunden unterwegs. Wie weit wird es (ungefähr) in der nächsten $\frac{1}{4}$ Stunde fahren?

LöSUNG:

Wir schätzen diese Wegstrecke durch
Momentangeschwindigkeit $\times$ Zeitdifferenz:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \Delta f = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\cdot\Delta x$}}$

Diese Approximation ist allerdings nur für ,,kleine`` Werte von $\Delta x$ brauchbar.

Wenn wir die Differenzen $\Delta f$ und $\Delta x$ durch infinitesimale (,,unendlich kleine``) Größen $df$ und $dx$ersetzen, erhalten wir das  Differential der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle df=f'(x_0)\,dx$}}$

($df$ und $dx$ werden dabei ebenfalls als Differentiale bezeichnet.)

Wir können das Differential von $f$ als lineare Funktion in $dx$auffassen und damit die Funktion $f$ näherungsweise berechnen.

$$f(x_0+dx)-f(x_0) \approx df$$

BEISPIEL
Sei $f(x)=e^x$. Wir berechnen $f(1{,}1)$ mit Hilfe des Differentials an der Stelle $x_0=1$.

Differential von $f$ an der Stelle 1:

$dx=(x_0+dx)-x_0=1{,}1-1=0{,}1$

$df=f'(1)\,dx= e^1\,dx=0{,}1\cdot e$

$f(1{,}1)\approx f(1)+df=e+0{,}1\cdot e\approx 2{,}99$

$(f(1,1)=3,00)$