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Stationäre Punkte  

Mit Hilfe der Taylorreihe einer Funktion erhalten wir ein genaueres Werkzeug zur Untersuchung von stationären Punkten von Funktionen. Wenn wir eine Funktion in eine Taylorreihe um einen (stationären) Punkt $x_0$ entwickeln, dann dominiert in der Nähe von $x_0$ immer der Term mit der niedrigsten Ordnung.

Der erste nicht verschwindende Term der Taylorreihenentwicklung (=der erste Term, in dem die Ableitung ungleich 0 ist) liefert das Krümmungsverhalten der Funktion in der Nähe von $x_0$.

BEISPIEL
$x_0=0$ ist ein stationärer Punkt von $f(x)=e^{-x^4}$.
Die Taylorreihenentwicklung an der Stelle $x_0=0$ lautet

$$e^{-x^4}=1-x^4+\cdots$$

Der erste nicht verschwindende Term ist $-x^4$. Daher ist $x_0$ ein lokales Maximum.

Potenzfunktionen verschiedener Ordnung:

Wir erhalten für differenzierbare Funktionen die folgende Vorgangsweise zur Berechnung der lokalen Extrema:

$$x_i$$ (1)

$$f'(x)=0$$

$$f f^{(n)} x_i$$ (2)

$$n$$ (3)

$$f^{(n)}(x_i)\gt \Rightarrow x_0$$

$$f^{(n)}(x_i)<0 \Rightarrow x_0$$

$$n$$

$$\Rightarrow x_i$$