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Berechnung der globalen Extrema  

Wir suchen den größten und kleinsten Wert einer Funktion

\begin{displaymath}
f\colon[\,a,b\,]\to{\mathbb R},\, x\mapsto f(x)\end{displaymath}

   
(1) Suche alle Punkte, in denen $f$ nicht differenzierbar ist.
(2) Bestimme alle stationären Punkte von $f$:
  Löse $f'(x)=0$.
(3) Berechne $f(x)$ in allen Punkten aus (1) und (2) sowie in den Randpunkten $a$ und $b$.
(4) Größter Wert $\Rightarrow$ globales Maximum,
  kleinster Wert $\Rightarrow$ globales Minimum.



Es ist nicht notwendig $f''(x)$ zu berechnen.



BEISPIEL
Gesucht sind die globalen Extrema der Funktion

$f\colon[\,0{,}5;8{,}5\,]\to{\mathbb R},\,
 x\mapsto \frac{1}{12}\,x^3-x^2+3\,x+1$

(1)
$f$ ist überall differenzierbar.
(2)
$f'(x)=\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3$

$\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3=0$ besitzt die Lösungen
$x_1=2$ und $x_2=6$.
(3)
+ (4)
$f(0{,}5)=2{,}260$    
$f(2)=3{,}667$    
$f(6)=1{,}000$ $\Rightarrow$ globales Minimum
$f(8{,}5)=5{,}427$ $\Rightarrow$ globales Maximum




Die globalen Extremwerte existieren nicht immer und sind auch nicht immer eindeutig bestimmt.



BEISPIEL
Wir suchen die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [\,0,5\,]\to{\mathbb R},$

$x\mapsto
 \left\{ \begin{array}
{ll}
 \vert x-1\vert+1 & \mbox{für }0\leq x\leq...
 ...[1ex]
 \frac{1}{2}(-x^2+6\,x+3) & \mbox{für }1 < x\leq 5\\  \end{array} \right.$

(1)
$f$ ist nur in $x_1=1$ nicht differenzierbar.
(2)
$\vert x-1\vert+1$ besitzt keine stationären Punkte.

Im Intervall $[\,1,5\,]$ ist
$f'(x)=(\frac{1}{2}(-x^2+6\,x-3))' = -x+3$.

Der einzige stationäre Punkt in $[\,1,5\,]$ (!) ist daher $x_2=3$.

(3)
+ (4)
$f(0)=2$    
$f(1)=1$ $\Rightarrow$ globales Minimum
$f(3)=3$ $\Rightarrow$ globales Maximum
$f(5)=1$ $\Rightarrow$ globales Minimum

Das globale Maximum ist $x=3$, die globalen Minima sind $x=1$ und $x=5$.




\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{2.3mm}
 
\begin{picture}
(60,40)
 
\thin...
 ...00)(53.5,17.888)(54.0,16.950)(54.5,15.988)(55.0,15.000)\end{picture}\end{figure}



Im Falle eines unbeschränkten (z.B. ${\mathbb R}$) oder offenen (z.B. $(\,0,1\,)$) Definitionsbereichs, berechnen wir anstatt der Funktionswerte an den Randpunkten $f(a)$ und $f(b)$ die entsprechenden Grenzwerte (z.B. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ oder $\lim\limits_{x\to a} f(x)$). Falls einer dieser Grenzwert größer oder kleiner als jeder Funktionswert ist, so existiert das Maximum bzw. Minimum nicht.



BEISPIEL
Wir suchen die globalen Extrema der Funktion

$f\colon{\mathbb R}\to{\mathbb R},\, x\mapsto x^2$.

(1)
$f$ ist überall differenzierbar.
(2)
$f'(x)=2\,x$.

$2\,x=0$ besitzt die Lösung $x_1=0$.
(3)
+ (4)
$f(0)=0$ $\Rightarrow$ globales Minimum
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$ $\Rightarrow$ das globale Maximum
$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$   existiert nicht


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung