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Berechnung der globalen Extrema  

Wir suchen den größten und kleinsten Wert einer Funktion

$$f\colon[\,a,b\,]\to{\mathbb R},\, x\mapsto f(x)$$

$$f$$ (1)

$$f$$ (2)

$$f'(x)=0$$

$$f(x) a b$$ (3)

$$\Rightarrow$$ (4)

$$\Rightarrow$$

Es ist nicht notwendig $f''(x)$ zu berechnen.

BEISPIEL
Gesucht sind die globalen Extrema der Funktion

$f\colon[\,0{,}5;8{,}5\,]\to{\mathbb R},\, x\mapsto \frac{1}{12}\,x^3-x^2+3\,x+1$

(1)

$f$ ist überall differenzierbar.

(2)

$f'(x)=\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3$

$\frac{1}{4}\,x^2-2\,x+3=0$ besitzt die Lösungen
$x_1=2$ und $x_2=6$.

(3)

+ (4)

$$f(0{,}5)=2{,}260$$

$$f(2)=3{,}667$$

$$f(6)=1{,}000 \Rightarrow$$ globales Minimum

$$f(8{,}5)=5{,}427 \Rightarrow$$ globales Maximum

Die globalen Extremwerte existieren nicht immer und sind auch nicht immer eindeutig bestimmt.

BEISPIEL
Wir suchen die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [\,0,5\,]\to{\mathbb R},$

$x\mapsto \left\{ \begin{array} {ll} \vert x-1\vert+1 & \mbox{für }0\leq x\leq... ...[1ex] \frac{1}{2}(-x^2+6\,x+3) & \mbox{für }1 < x\leq 5\\ \end{array} \right.$

(1)

$f$ ist nur in $x_1=1$ nicht differenzierbar.

(2)

$\vert x-1\vert+1$ besitzt keine stationären Punkte.

Im Intervall $[\,1,5\,]$ ist
$f'(x)=(\frac{1}{2}(-x^2+6\,x-3))' = -x+3$.

Der einzige stationäre Punkt in $[\,1,5\,]$ (!) ist daher $x_2=3$.

(3)

+ (4)

$$f(0)=2$$

$$f(1)=1 \Rightarrow$$ globales Minimum

$$f(3)=3 \Rightarrow$$ globales Maximum

$$f(5)=1 \Rightarrow$$ globales Minimum

Das globale Maximum ist $x=3$, die globalen Minima sind $x=1$ und $x=5$.

Im Falle eines unbeschränkten (z.B. ${\mathbb R}$) oder offenen (z.B. $(\,0,1\,)$) Definitionsbereichs, berechnen wir anstatt der Funktionswerte an den Randpunkten $f(a)$ und $f(b)$ die entsprechenden Grenzwerte (z.B. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ oder $\lim\limits_{x\to a} f(x)$). Falls einer dieser Grenzwert größer oder kleiner als jeder Funktionswert ist, so existiert das Maximum bzw. Minimum nicht.

BEISPIEL
Wir suchen die globalen Extrema der Funktion

$f\colon{\mathbb R}\to{\mathbb R},\, x\mapsto x^2$.

(1)

$f$ ist überall differenzierbar.

(2)

$f'(x)=2\,x$.

$2\,x=0$ besitzt die Lösung $x_1=0$.

(3)

+ (4)

$$f(0)=0 \Rightarrow$$ globales Minimum

$$\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty \Rightarrow$$ das globale Maximum

$$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$$ existiert nicht