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Zinsen  

Ein Betrag von $K=K_0$ Geldeinheiten wird zu einem Zinssatz von $p$(%) angelegt.
Wie groß ist das Guthaben nach 1, 2, $\ldots$ , $n$ Jahren?

LöSUNG:

Guthaben nach einem Jahr:

$$K_1=K_0 + p\cdot K_0 = K_0\,(1+p)=K_0\cdot q$$

$q=1+p$ hießt Aufzinsungsfaktor.

Guthaben nach dem zweiten Jahr:

$$K_2=K_1\cdot q = (K_0\cdot q) \cdot q=K_0\cdot q^2$$

Guthaben nach dem $n$-ten Jahr:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle K_n=K_0\cdot q^n$}}$

Die Guthaben in den einzelnen Jahren bilden somit eine geometrische Folge.

Die Formel $K_n=K_0\cdot q^n$ läßt sich auf den allgemeinen Fall des Wertzuwachses bzw. der Wertabnahme eines Kapitals im Zeitablauf erweitern.

Es seien $n$ und $m$ unterschiedliche Zeitpunkte. Dann ist

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle K_n=K_m\cdot q^{n-m}\qquad\mbox{mit }q=1+p$}}$

Wenn $n<m$, sprechen wir von einer Abzinsung oder Diskontierung von $K_m$ auf $K_n$.

Wenn $n\gt m$ wird $K_m$ auf $K_n$ aufgezinst.

BEISPIEL
Ein Guthaben $G$ auf einem Sparbuch beträgt 1990 17683 Geldeinheiten. Wie hoch war das Guthaben im Jahre 1988 bzw. wie hoch wird es im Jahr 1995 bei einer Verzinsung von 8% sein?

$\begin{array} {rcl} G_{1988} &=& G_{1990}\cdot (1+0{,}08)^{1988-1990}\\ &=&... ...8)^{1995-1990}\\ &=& 17\,683\cdot 1{,}08^{5}\approx 25\,982{,}13 \end{array}$