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Geometrische Folgen  

  

Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder ist konstant:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q$}}$

Bildungsgesetz:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle a_n=a_1\cdot q^{n-1}$}}$

Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle a_n=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_{n-1}}$}}$

Geometrische Reihe (Summenformel):

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\mbox{ für }q\not=1$}}$

Die Summenformel $s_n$ für die geometrische Reihe erhalten wir durch folgenden Trick:

$$s_n = a_1\, q^0 + a_1\, q^1 + \cdots + a_1\, q^{n-1}$$

Multiplizieren mit $q$

$$q\cdot s_n = a_1\, q^1 + \cdots + a_1\, q^{n-1} + a_1\, q^n$$

Subtrahieren

$$s_n-q\cdot s_n = a_1\, q^0 - a_1\, q^n$$

Herausheben

$$s_n\,(1-q)=a_1\,(1-q^n)$$

Also

$$s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$$

Es ist auch üblich bei der Definition von Folgen und Reihen bei 0 anstatt bei 1 zu zählen zu beginnen.

Die Bildungsgesetze und Summenformeln für

die arithmetische Folge lauten dann

$$a_n=a_0+n\cdot d\quad\mbox{bzw.}\quad s_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n)$$

und für die geomoetrische Folge

$$a_n=a_0\cdot q^n\quad\mbox{bzw.}\quad s_n=a_0\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\quad \mbox{(für $q\not=1$)}$$