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Was sind Taylorreihen?  

Wir wollen komplizierte Funktionen durch möglichst einfache Funktionen approximieren.

Einfachster Fall:

Approximation durch eine lineare Funktion
(totales Differential):

$$f(x+h) \approx f(x) + f'(x) \cdot h$$

Etwas weniger einfach:

Approximation durch ein Polynom $P_n(x)$.

Diese Approximation wird dann ,,möglichst`` gut sein, falls die Ableitungen von $f$ und $P_n(x)$ übereinstimmen.

ANSATZ:

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + R_n (x)$$

Dabei wird $R(x)$ als  Restglied bezeichnet. Es gibt den Fehler an, der beim Ersetzen von $f(x)$ durch $P_n(x)$ gemacht wird.

Wir bilden nun die Ableitungen an der Stelle $x=0$
($R_n(x)$ lassen wir vorerst weg):

$$\begin{array} {rl} f(x) =& a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \... ... 1 \cdot a_n\\ & \Rightarrow f^{(n)}(0) = n! a_n\\ \end{array}$$

$$\Rightarrow a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$$

Wir erhalten

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n (x)$}}$

oder allgemeiner:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + R_n (x)$}}$

Dieses Polynom (ohne Restglied) heißt das
$n$-te  Taylorpolynom der Funktion $f$ im Punkt $x_0$.

Die unendliche Reihe ($n \rightarrow \infty$) (Potenzreihe) heißt
die  Taylorreihe von $f$.

Der Spezialfall mit $x_0=0$ heißt  MacLaurinpolynom bzw.  MacLaurinreihe.

Wenn $\lim\limits_{n\to\infty} R_n (x) = 0$, dann konvergiert die Taylorreihe gegen $f(x)$. ($\Rightarrow$  Taylorentwicklung an der Stelle $x_0$)

Das Restglied läßt sich abschätzen.
 Lagrange-Form des Restgliedes:

$$R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta(x-x_0))}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$$

wobei $\theta\in (\,0,1\,)$ eine geeignete Zahl ist. (D.h. es gibt so eine Zahl $\theta$).

Falls $\vert f^{(n)}(\xi)\vert \leq C$ für alle $n\in{\mathbb N}$und für alle $\xi\in[x,x_0]$dann ist

$$\vert R_n(x)\vert \le C \cdot \frac{\vert x_0-x\vert^{n+1}}{(n+1)!}$$

Der Fehler $R_n(x)$ ist also in diesem Fall umso kleiner, je näher $x$ bei $x_0$ liegt und je größer $n$ wird. Die Taylorreihe konvergiert für alle $x\in{\mathbb R}$.

BEISPIEL
Taylorentwicklung von $f(x)=e^x$ an der Stelle $x=0$.

$$\begin{array} {rclcl} f(x) &=& e^x & \Rightarrow & f(0)=1\\... ... f^{(n)}(x) &=& e^x & \Rightarrow & f^{(n)}(0)=1\\ \end{array}$$

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n !} + \ldots$$

Diese Taylorreihe konvergiert für alle $x\in{\mathbb R}$

Es gibt aber auch Taylorreihen, die nicht für alle $x\in{\mathbb R}$konvergieren.

Es gilt jedoch:
Falls eine Taylorreihe für ein $x_1$ mit $\vert x_1-x_0\vert= \rho$konvergiert, so konvergiert sie für alle $x$ mit $\vert x-x_0\vert \leq \rho$. Das größtmögliche derartige $\rho$ heißt der  Konvergenzradius der Taylorreihe.

BEISPIEL
Taylorreihe für $f(x)= \ln (x+1)$ an der Stelle $x=0$.

$$\begin{array} {rclrcl} f(x) &=& \ln(1+x) &f(0) &=& 0\\ f'(... ...dot 2 \cdot 1 \cdot ( 1+x)^{-4} &f''''(0)&=& -6\\ \end{array}$$

$$\begin{array} {rcl} \ln(1+x) & = & x - \frac{x^2}{2}+ 2 \... ...c{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \end{array}$$

Hier ist der Konvergenzradius $\rho = 1$ (ohne Beweis).

Indiz: $\ln(x+1)$ ist für $x\leq -1$ nicht definiert, die Taylorreihe hingegen schon.

Es gibt sogar Funktionen, deren Taylorreihe für kein einziges $x\not=x_0$ konvergiert.

Einige wichtige Taylorreihen:

 

$$f(x) \rho$$ MacLaurinreihe

$$\exp(x) 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots \infty$$

$$\ln(x+1) x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$ 1

$$\sin(x) x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \infty$$

$$\cos(x) 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \infty$$

$$\frac{1}{1-x} 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$$ 1

Wir können Taylorreihen

• gliedweise addieren
• gliedweise differenzieren
• gliedweise integrieren
• multiplizieren
• dividieren
• substituieren

BEISPIEL
Wir erhalten die Taylorreihe von $x^2\cdot e^x$ durch Multiplizieren der Taylorreihe von $x^2$ mir der Taylorreihe von $e^x$ an der Stelle $x=0$:

$$\begin{array} {rcl} x^2\cdot e^x &=& x^2\cdot (1+x+\frac{... ...frac{x^4}{2!}+\frac{x^5}{3!}+\frac{x^6}{4!}+\ldots \end{array}$$

BEISPIEL
Die Taylorreihe von $e^{-x^2}$ erhalten wir durch Substituieren (Einsetzen) von $-x^2$ in die Taylorreihe von $e^x$ an der Stelle $x=0$:

$$\begin{array} {rcl} e^{-x^2} &=& \displaystyle 1+(-x^2)+\... ...rac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\ldots \end{array}$$

BEISPIEL
Die MacLaurinreihe von $\sin^2(x)$ lautet

$\sin^2(x) = \displaystyle (x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} +-\ldots)^2$

$= (x^2-\frac{x^4}{3!}+\frac{x^6}{5!}-\frac{x^8}{7!} +-\ldots)$

${}+ (-\frac{x^4}{3!}+\frac{x^6}{3!3!}-\frac{x^8}{3!5!} +-\ldots)$

${}+ (\frac{x^6}{5!}-\frac{x^8}{3!5!} +-\ldots) + (-\frac{x^8}{7!} +-\ldots) +- \ldots$

$= x^2 - (\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!})x^4 + (\frac{1}{5!}+\frac{1}{3!3!}+\frac{1}{5!})x^6$

${}- (\frac{1}{7!}+\frac{1}{3!5!}+\frac{1}{3!5!}+\frac{1}{7!}) x^8 +- \ldots$

= $x^2 - \frac{1}{3}\,x^4 + \frac{2}{45}\,x^6 - \frac{1}{315}\,x^8 +- \ldots$