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Inhomogene lineare DG erster Ordnung  

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y'(x) + a(x) \, y(x) = s(x)$}}$

Die Lösung läßt sich stets in der Gestalt

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y = y_h + y_p$}}$

darstellen, wobei

$y_h$ ... allgemeine Lösung der homogenen DG ($s(x)=0$)
$y_p$ ... partikuläre Lösung der inhomogenen DG

Wie findet man $y_p$?

1. Falls $s(x)=s$ und $a(x)=a$ Konstante sind, dann setzen wir $y_p(x) = \frac{s}{a}$.

BEISPIEL
Lösung von $y' -3y = 6$

$y_h(x)=C\, e^{3x}$

$y_p(x)=\frac{s}{a}=\frac{6}{-3}=-2$

$y(x)=y_h+y_p=C\, e^{3x}-2$

2.  Methode der Variation der Konstanten

Ersetzen in der allgemeinen Lösung der homogenen DG die Konstante $C$durch eine Funktion $C(x)$:

$$y_p = C(x)\, e^{-\int a(x) dx}$$

$C(x)$ kann nun so gewählt werden, daß $y_p$ eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird.

Differenzieren

$$y'_p = e^{-\int a(x) dx} [C'(x) - a(x)\, C(x)]$$

Eingesetzt in DG: $y'_p - a(x)\, y_p = s(x)$


$e^{-\int a(x) dx} [C' (x) - a(x)\,C(x)]$
$+ a (x)\, C(x)\, e^{- \int a(x) dx} = s(x)$


$\Rightarrow\, e^{-\int a(x) dx} \cdot C '(x) = s(x)$


$\Rightarrow\, C'(x) = s(x) \cdot e^{\int a(x) dx}$


$\Rightarrow\, C(x) = \int s(x) \cdot e^{\int a(x) dx} dx$

BEISPIEL
Lösung von $$y' + \frac{y}{x} = x^2 +4$$

allgemeine Lösung der homogenen DG: $y_h$

$$y' + \frac{y}{x}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -\frac {dx}{x}$$

$$\ln y_h = -\ln x + \ln c = \ln \frac{c}{x}$$

$$y_h = \frac{c}{x}$$

partikuläre Lösung: (Variation der Konstanten)

$$y_p = \frac {C(x)}{x}\quad\Rightarrow\quad y'_p = \frac {C'(x)\,x - C(x)}{x^2}$$

in DG eingesetzt:

$$\frac {C'(x)\,x - C(x)}{x^2} + \frac {C(x)}{x\cdot x} = x^2+4$$

$$\frac{C'(x)}{x}=x^2+4$$

$$C'(x)=x^3+4x$$

Integrieren:

$$C(x)=\frac{1}{4}x^4 + 2x^2$$

$$y_p(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{1}{4}x^3+2x$$

Allgemeine Lösung der inhomogenen DG:

$$y(x)=\frac{c}{x}+\frac{x^3}{4}+2x$$

Probe: $y'=-\frac{c}{x^2}+\frac{3}{4}x^2 + 2$
$y'+\frac{y}{x}=-\frac{c}{x^2}+\frac{3}{4}x^2 + 2 + \frac{c}{x^2}+\frac{x^2}{4}+2 = x^2 +4$

Die partikuläre Lösung der inhomogene DG is eine spezielle Lösung und enthält daher keine Integrationskonstante.

BEISPIEL EINFACHES MARKTMODELL
  Für eine bestimmte Ware gelten folgende Nachfrage- und Angebotsfunktionen:

$$\begin{array} {ll} q_d(t) = \alpha - \beta p(t)\quad & (\al... ...\gamma +\delta p(t)\quad & (\gamma, \delta \gt 0) \end{array}$$

Die Preisänderung $p'(t)$ soll proportional zur Differenz von Nachfrage und Angebot sein:

$$\frac {dp}{dt} = j (q_d - q_s)\quad (j \gt 0)$$

Wie verhält sich der Preis $p(t)$ im Laufe der Zeit $t$?

Im Marktgleichgewicht gilt:

$$q_d(t) = q_s(t) \Rightarrow \bar{p} = \frac {\alpha + \gamma}{\beta + \delta}$$

Aus der Preisänderung erhalten wir

$$\frac {dp}{dt} = j (q_d(t) - q_s(t)) = j ( \alpha + \gamma) - j (\beta + \delta) p(t)$$

eine inhomogene lineare DG erster Ordnung

$$\frac {dp}{dt} + j (\beta + \delta)p = j(\alpha + \gamma)$$

LöSUNG:

homogene DG: $p' + j(\beta + \delta) p = 0$

$$\frac{dp}{p} = -j (\beta + \delta) dt \quad\Rightarrow\quad \ln p_h = -j (\beta + \delta) t + c$$

$$p_h = C e^{-j(\beta + \delta)t}$$

partikuläre Lösung:

$$p_p = \frac {j(\alpha + \gamma)}{j(\beta + \delta)} = \fra... ...lpha + \gamma}{\beta + \delta} = \bar{p} \quad{(=Konstante)}$$

allgemeine Lösung:

$$p = p_h + p_p = C \cdot e^{-j(\beta + \delta) \cdot t} + \bar{p}$$

Lösung des Anfangswertproblems mit $p(0)=p_0$

$$p_0 = p(0) = C\cdot e^0 + \bar{p} \Rightarrow C = p_0 - \bar{p}$$

Also

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle p(t) = (p_0 - \bar{p}) e^{-j (\beta + \delta) t} + \bar{p}$}}$

$p(t) \rightarrow \bar{p}$ für $t\to\infty$ unabhängig von $p_0$