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Inhomogene lineare DG erster Ordnung  

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y'(x) + a(x) \, y(x) = s(x)$}}$


Die Lösung läßt sich stets in der Gestalt

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y = y_h + y_p$}}$

darstellen, wobei

$y_h$ ... allgemeine Lösung der homogenen DG ($s(x)=0$)
$y_p$ ... partikuläre Lösung der inhomogenen DG




Wie findet man $y_p$?



1. Falls $s(x)=s$ und $a(x)=a$ Konstante sind, dann setzen wir $y_p(x) = \frac{s}{a}$.

BEISPIEL
Lösung von $y' -3y = 6$

$y_h(x)=C\, e^{3x}$

$y_p(x)=\frac{s}{a}=\frac{6}{-3}=-2$

$y(x)=y_h+y_p=C\, e^{3x}-2$



2.  Methode der Variation der Konstanten


Ersetzen in der allgemeinen Lösung der homogenen DG die Konstante $C$durch eine Funktion $C(x)$:

\begin{displaymath}
y_p = C(x)\, e^{-\int a(x) dx}\end{displaymath}

$C(x)$ kann nun so gewählt werden, daß $y_p$ eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird.

Differenzieren

\begin{displaymath}
y'_p = e^{-\int a(x) dx} [C'(x) - a(x)\, C(x)]\end{displaymath}

Eingesetzt in DG: $y'_p - a(x)\, y_p = s(x)$


$e^{-\int a(x) dx} [C' (x) - a(x)\,C(x)]$
$+ a (x)\, C(x)\, e^{- \int a(x) dx} = s(x)$


$\Rightarrow\, e^{-\int a(x) dx} \cdot C '(x) = s(x)$


$\Rightarrow\, C'(x) = s(x) \cdot e^{\int a(x) dx}$


$\Rightarrow\, C(x) = \int s(x) \cdot e^{\int a(x) dx} dx$



BEISPIEL
Lösung von $\displaystyle y' + \frac{y}{x} = x^2 +4$


allgemeine Lösung der homogenen DG: $y_h$

\begin{displaymath}
y' + \frac{y}{x}= 0
 \quad\Leftrightarrow\quad
 \frac{dy}{y} = -\frac {dx}{x}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\ln y_h = -\ln x + \ln c = \ln \frac{c}{x}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
y_h = \frac{c}{x}\end{displaymath}

partikuläre Lösung: (Variation der Konstanten)

\begin{displaymath}
y_p = \frac {C(x)}{x}\quad\Rightarrow\quad
 y'_p = \frac {C'(x)\,x - C(x)}{x^2}\end{displaymath}

in DG eingesetzt:

\begin{displaymath}
\frac {C'(x)\,x - C(x)}{x^2} + \frac {C(x)}{x\cdot x} = x^2+4\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\frac{C'(x)}{x}=x^2+4\end{displaymath}

\begin{displaymath}
C'(x)=x^3+4x\end{displaymath}

Integrieren:

\begin{displaymath}
C(x)=\frac{1}{4}x^4 + 2x^2\end{displaymath}

\begin{displaymath}
y_p(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{1}{4}x^3+2x\end{displaymath}

Allgemeine Lösung der inhomogenen DG:

\begin{displaymath}
y(x)=\frac{c}{x}+\frac{x^3}{4}+2x\end{displaymath}


Probe: $y'=-\frac{c}{x^2}+\frac{3}{4}x^2 + 2$
$y'+\frac{y}{x}=-\frac{c}{x^2}+\frac{3}{4}x^2 + 2 +
 \frac{c}{x^2}+\frac{x^2}{4}+2 = x^2 +4$




Die partikuläre Lösung der inhomogene DG is eine spezielle Lösung und enthält daher keine Integrationskonstante.



BEISPIEL EINFACHES MARKTMODELL
  Für eine bestimmte Ware gelten folgende Nachfrage- und Angebotsfunktionen:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ll}
 q_d(t) = \alpha - \beta p(t)\quad & (\al...
 ...\gamma +\delta p(t)\quad & (\gamma, \delta \gt 0)
 \end{array} \end{displaymath}

Die Preisänderung $p'(t)$ soll proportional zur Differenz von Nachfrage und Angebot sein:

\begin{displaymath}
\frac {dp}{dt} = j (q_d - q_s)\quad (j \gt 0)
 \end{displaymath}




Wie verhält sich der Preis $p(t)$ im Laufe der Zeit $t$?

Im Marktgleichgewicht gilt:

\begin{displaymath}
q_d(t) = q_s(t) \Rightarrow \bar{p} 
 = \frac {\alpha + \gamma}{\beta + \delta}
 \end{displaymath}

Aus der Preisänderung erhalten wir

\begin{displaymath}
\frac {dp}{dt} = j (q_d(t) - q_s(t)) 
 = j ( \alpha + \gamma) - j (\beta + \delta) p(t)
 \end{displaymath}

eine inhomogene lineare DG erster Ordnung

\begin{displaymath}
\frac {dp}{dt} + j (\beta + \delta)p = j(\alpha + \gamma)
 \end{displaymath}



SUNG:

homogene DG: $p' + j(\beta + \delta) p = 0$

\begin{displaymath}
\frac{dp}{p} = -j (\beta + \delta) dt
 \quad\Rightarrow\quad
 \ln p_h = -j (\beta + \delta) t + c
 \end{displaymath}

\begin{displaymath}
p_h = C e^{-j(\beta + \delta)t}
 \end{displaymath}


partikuläre Lösung:

\begin{displaymath}
p_p = \frac {j(\alpha + \gamma)}{j(\beta + \delta)} = 
 \fra...
 ...lpha + \gamma}{\beta + \delta} = \bar{p}
 \quad{(=Konstante)}
 \end{displaymath}


allgemeine Lösung:

\begin{displaymath}
p = p_h + p_p = C \cdot e^{-j(\beta + \delta) \cdot t} + \bar{p}
 \end{displaymath}


Lösung des Anfangswertproblems mit $ p(0)=p_0$

\begin{displaymath}
p_0 = p(0) = C\cdot e^0 + \bar{p}
 \Rightarrow C = p_0 - \bar{p}
 \end{displaymath}

Also
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle p(t) = (p_0 - \bar{p}) e^{-j (\beta + \delta) t} + \bar{p}$}}$


$p(t) \rightarrow \bar{p}$ für $t\to\infty$ unabhängig von $p_0$




\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{0.15pt}
 
\begin{picture}
(1500,900)(0,0...
 ...,435)(1385,436)(1398,436)(1411,437)(1423,437)(1436,438)\end{picture}\end{figure}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung