previous up next contents index
previous: Was ist eine Differentialgleichung? up: Differentialgleichungen next: Einfache DG erster Ordnung

Ein einfaches Modell  

(nach Domar, 1946)


Untersuchen die Investitionen $I(t)$ im Laufe der Zeit $t$.$K(t)$ ist der Kapitalstock zum Zeitpunkt $t$ ist.

\begin{displaymath}
\frac{dK}{dt}=I \end{displaymath}

Treffen Annahmen:

Eine Änderung der Investitionen bewirkt

1.
eine Änderung der Kaufkraft $Y(t)$:

\begin{displaymath}
\frac{dY}{dt} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{1}{s} \eqno{(A1)}\end{displaymath}

2.
eine Änderung der Produktionskapazität $\kappa(t)$.
Modell: Konstantes Kapazitäts-Kapital-Verhältnis:

\begin{displaymath}
\frac{\kappa(t)}{K(t)} = \varrho \quad \mbox{(= konstant)} \eqno{(A2)} \end{displaymath}

Das Modell befindet sich in Gleichgewicht, falls Kaufkraft und Produktionskapazität übereinstimmen:

\begin{displaymath}
Y = \kappa\eqno{(G)}\end{displaymath}



Starten von Gleichgewichtszustand ($t = 0$).

Welche Investitionsfunktion $I(t)$ erfüllt die Gleichgewichtsbedingung für alle Zeiten?




Aus $(G)$ erhalten wir

\begin{displaymath}
\frac{dY}{dt} = \frac{d \kappa}{dt} \end{displaymath}

und aus $(A2)$

\begin{displaymath}
\kappa = \varrho K 
\quad\Rightarrow\quad
\frac{d\kappa}{dt} =\varrho\, \frac{dK}{dt} = \varrho I \end{displaymath}

Eingesetzt in $(A1)$

\begin{displaymath}
\frac{dI}{dt} \cdot\frac{1}{s} = \frac{dY}{dt} = \frac{d \kappa}{dt} =
\varrho I \end{displaymath}

oder


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{dI}{dt} = \varrho\, s\, I$}}$ $\qquad\qquad\mbox{bzw.}\qquad\qquad$ $\displaystyle \frac{1}{I}\frac{dI}{dt} = \varrho\, s$


Wir erhalten eine DG erster Ordnung.



Lösung des Modells:


Diese Gleichung muß für alle $t\gt$ erfüllt sein.

\begin{displaymath}
\int \frac{1}{I} \frac{dI}{dt} dt = \int \varrho \, s\, dt\end{displaymath}

linke Seite:
Substitution: $I = I(t) \,\Rightarrow\, dI = I'(t)dt$

\begin{displaymath}
\int \frac{1}{I} dI = \ln I + c_1\end{displaymath}

rechte Seite:

\begin{displaymath}
\int \varrho\, s\, dt = \varrho\, s \, t + c_2\end{displaymath}

Insgesamt:

\begin{displaymath}
\ln I = \varrho \, s \, t + c\end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
I = e^{\varrho s t} \cdot e^c = A e^{\varrho s t}\end{displaymath}



 allgemeine Lösung:

\begin{displaymath}
I (t) = A\, e^{\varrho s t}\end{displaymath}

$A$ ist eine beliebige Konstante $\gt$.



 spezielle Lösung des  Anfangswertproblems

\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}
{l}
I' = \rho s \cdot I\\  
I(0)=I_0\\ \end{array} 
\right\} \end{displaymath}

Lösen durch Einsetzen in allgemeine Lösung:

$I_0 = I(0) = A \, e^{\rho s 0} =A$


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle I(t) = I_0 e^{\rho s t}$}}$





Verfizieren der Lösung (Probe):

\begin{displaymath}
I' = \varrho s \, I_0\, e^{\varrho s t}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\frac {1}{I} \cdot I' = \frac {1}{I_0 \, e^{\varrho s t}} \cdot
\varrho s \, I_0 \, e^{\varrho s t} = \varrho s\end{displaymath}




\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{0.08pt}
 
\begin{picture}
(1200,720)(0,0...
 ...,654)(1080,663)(1092,672)(1105,681)(1118,691)(1126,697)\end{picture}\end{figure}


previous up next contents index

© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung