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Multiplikation zweier Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.

D.h., wenn $\mathsfbf{A}$ eine $n\times m$-Matrix ist, so muß $\mathsfbf{B}$ eine $m\times k$-Matrix sein.

Die Produktmatrix $\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ ist dann eine $n\times k$-Matrix.

Zur Berechnung des Elements $c_{ij}$ der Produktmatrix wird die $i$-te Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix ,,multipliziert`` (im Sinne eines Skalarprodukts):

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle c_{ij}=\sum_{s=1}^m a_{is}\cdot b_{sj}$}}$



BEISPIEL
Seien

$\mathsfbf{A}=
 \left(
 \begin{array}
{ccc}
 1&2&3\\  4&5&6\\  7&8&9\\  \end{arr...
 ...hsfbf{B}=
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 1&2\\  3&4\\  5&6\\  \end{array} \right)$

Zur Berechnung der Produktmatrix $\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ ist es sinnvoll, die Matrizen höhenversetzt nebeneinander zu schreiben (Falksches Schema).

$\textstyle\parbox{10cm}{ \begin{tabular}
{c\vert\vert l}
 \begin{tabular}
{l}
 ...
 ...  \fbox{$c_{21}$}&$c_{22}$\\  $c_{31}$&$c_{32}$\\  \end{tabular} \end{tabular}}$

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ccccccccl}
 c_{11} &=& 1\cdot 1 &+& 2\cdot 3 ...
 ... &=& 7\cdot 2 &+& 8\cdot 4 &+& 9\cdot 6 &=& 100\\  \end{array} \end{displaymath}

Also

\begin{displaymath}
\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}=
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 22&28\\ 49&64\\ 76&100\\  \end{array} \right)
 \end{displaymath}



Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mbox{im allgemeinen gilt: }
\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}\not=\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$}}$


BEISPIEL
$\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$ muß nicht immer existieren, falls $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ existiert.


$\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ und $\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$ existieren nur dann, wenn $\mathsfbf{A}$ eine $n\times k$-Matrix und $\mathsfbf{B}$ eine $k\times n$-Matrix ist.


Falls $\mathsfbf{A}$ eine $n\times k$-Matrix und $\mathsfbf{B}$ eine $k\times n$-Matrix ist, dann ist $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$eine $n\times n$-Matrix und $\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$eine $k\times k$-Matrix. Also $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}\not= \mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$, falls $n\not=k$.

Auch wenn wir zwei quadratische Matrizen multiplizieren, ist die Matrizenmultiplikation meist nicht kommutativ.

BEISPIEL

$
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 1&1\\ 0&1\\  \end{array} \right)
 \cdot
 \left(
 ...
 ...ray} \right)
 =
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 2&1\\ 1&1\\  \end{array} \right)
 $


$
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 1&0\\ 1&1\\  \end{array} \right)
 \cdot
 \left(
 ...
 ...array} \right)
 =
 \left(
 \begin{array}
{cc}
 1&1\\ 1&2\\  \end{array} \right)$



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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung