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Multiplikation zweier Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.

D.h., wenn $\mathsfbf{A}$ eine $n\times m$-Matrix ist, so muß $\mathsfbf{B}$ eine $m\times k$-Matrix sein.

Die Produktmatrix $\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ ist dann eine $n\times k$-Matrix.

Zur Berechnung des Elements $c_{ij}$ der Produktmatrix wird die $i$-te Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix ,,multipliziert`` (im Sinne eines Skalarprodukts):

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle c_{ij}=\sum_{s=1}^m a_{is}\cdot b_{sj}$}}$

BEISPIEL
Seien

$\mathsfbf{A}= \left( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{arr... ...hsfbf{B}= \left( \begin{array} {cc} 1&2\\ 3&4\\ 5&6\\ \end{array} \right)$

Zur Berechnung der Produktmatrix $\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ ist es sinnvoll, die Matrizen höhenversetzt nebeneinander zu schreiben (Falksches Schema).

$\parbox{10cm}{ \begin{tabular} {c\vert\vert l} \begin{tabular} {l} ... ... \fbox{$c_{21}$}&$c_{22}$\\ $c_{31}$&$c_{32}$\\ \end{tabular} \end{tabular}}$

$$\begin{array} {ccccccccl} c_{11} &=& 1\cdot 1 &+& 2\cdot 3 ... ... &=& 7\cdot 2 &+& 8\cdot 4 &+& 9\cdot 6 &=& 100\\ \end{array}$$

Also

$$\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}= \left( \begin{array} {cc} 22&28\\ 49&64\\ 76&100\\ \end{array} \right)$$

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mbox{im allgemeinen gilt: } \mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}\not=\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$}}$

BEISPIEL
$\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$ muß nicht immer existieren, falls $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ existiert.

$\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$ und $\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$ existieren nur dann, wenn $\mathsfbf{A}$ eine $n\times k$-Matrix und $\mathsfbf{B}$ eine $k\times n$-Matrix ist.

Falls $\mathsfbf{A}$ eine $n\times k$-Matrix und $\mathsfbf{B}$ eine $k\times n$-Matrix ist, dann ist $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$eine $n\times n$-Matrix und $\mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$eine $k\times k$-Matrix. Also $\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}\not= \mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A}$, falls $n\not=k$.

Auch wenn wir zwei quadratische Matrizen multiplizieren, ist die Matrizenmultiplikation meist nicht kommutativ.

BEISPIEL

$\left( \begin{array} {cc} 1&1\\ 0&1\\ \end{array} \right) \cdot \left( ... ...ray} \right) = \left( \begin{array} {cc} 2&1\\ 1&1\\ \end{array} \right)$


$\left( \begin{array} {cc} 1&0\\ 1&1\\ \end{array} \right) \cdot \left( ... ...array} \right) = \left( \begin{array} {cc} 1&1\\ 1&2\\ \end{array} \right)$