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Die geränderte Hesse-Matrix  

Zur Untersuchung der stationären Punkte können wir die  geränderte Hesse-Matrix verwenden.

Sie lautet für Funktionen in zwei Variablen und einer Nebenbedingung

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \bar\mathsfbf{H}(\mathsfbf{x}) = \pmatrix{ 0 & ... ...{x_2}(\mathsfbf{x}) & L_{x_2x_1}(\mathsfbf{x}) & L_{x_2x_2}(\mathsfbf{x}) } $}}$

Ein stationärer Punkt $\mathsfbf{x}_0$ von $f$ unter der Bedingung $g(x_1,x_2)=c$ ist ein

• lokales Maximum, wenn $\vert\bar\mathsfbf{H}(\mathsfbf{x}_0)\vert\gt$ und ein
• lokales Minimum, wenn $\vert\bar\mathsfbf{H}(\mathsfbf{x}_0)\vert<0$.
• Wenn $\vert\bar\mathsfbf{H}(\mathsfbf{x}_0)\vert=0$, dann kann keine Aussage gemacht werden.

BEISPIEL
Wir suchen die lokalen Extrema von

$$f(x,y) = x^2 + 2\,y^2$$

unter der Nebenbedingung

$$g(x,y) = x + y = 3$$

Der einzige stationäre Punkt von $f$ unter der Nebenbedingung $g(x,y)=3$ ist $\quad\mathsfbf{x}_0 = (2,1)$.

Die geränderte Hesse-Matrix an der Stelle $\mathsfbf{x}_0$ lautet

$$\bar\mathsfbf{H} = \pmatrix{ 0 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 0 \cr 1 & 0 & 4 }$$

Die Determinante der geränderten Hesse-Matrix ist

$\vert\bar\mathsfbf{H}\vert = -6$

$\Rightarrow\quad$ $\mathsfbf{x}_0 = (2,1)$ ist ein lokales Minimum von $f$ unter der Nebenbedingung.