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Konvexe und konkave Funktionen  

DEFINITION (KRüMMUNG)
Eine Funktion $f$ heißt  konvex in $D\subset{\mathbb R}^n$, falls $D$ konvex ist, und

$$f(h\,\mathsfbf{x} + (1-h)\,\mathsfbf{y}) \leq h\,f(\mathsfbf{x}) + (1-h)\,f(\mathsfbf{y})$$

für alle $\mathsfbf{x},\mathsfbf{y}\in D$ und für alle $h\in[\,0,1\,]$ (vgl.).

Die Funktion $f$ heißt  konkav in $D\subset{\mathbb R}^n$, falls $D$ konvex ist, und

$$f(h\,\mathsfbf{x} + (1-h)\,\mathsfbf{y}) \geq h\,f(\mathsfbf{x}) + (1-h)\,f(\mathsfbf{y})$$

für alle $\mathsfbf{x},\mathsfbf{y}\in D$ und für alle $h\in[\,0,1\,]$.

Es gibt auch  streng konvexe Funktionen (und analog  streng konkav), für die gilt:

$$f(h\,\mathsfbf{x} + (1-h)\,\mathsfbf{y}) < h\,f(\mathsfbf{x}) + (1-h)\,f(\mathsfbf{y})$$