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Die Elastizität  

Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ in absoluten Zahlen an. Sie ist somit abhängig von der Skalierung von Argument und Funktionswert.

Tatsächlich sind wir aber in vielen Fällen an relativen Änderungsraten interessiert.

Diese relative Änderung der Funktion erhalten wir durch

$$\mbox{$\displaystyle\frac{{\footnotesize Änderung des Funkti... ...{{\footnotesize Änderung des Arguments in \% des Argumentes}}$}$$

$$= \frac{\rule{1ex}{0pt}\frac{f(x+h)-f(x)} {f(x)}\rule{1ex}{0... ...}{x}} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot\frac{x}{f(x)}$$

bzw. für die marginale Änderungsrate

$$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot\frac{x}{f(x)} =f'(x)\cdot\frac{x}{f(x)}$$

DEFINITION (ELASTIZITäT)
Der Ausdruck

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \varepsilon_f(x) = f'(x)\cdot\frac{x}{f(x)}$}}$

heißt die  Elastizität von $f$ an der Stelle $x$.

BEISPIEL
Sei $f(x)=2\,e^x$. Dann ist

$$\varepsilon_f(x)=f'(x)\cdot\frac{x}{f(x)}= 2\,e^x\cdot\frac{x}{2\,e^x}=x$$

DEFINITION ()
Eine Funktion $f$ heißt in $x$

$$\left\vert\,\varepsilon_f(x)\,\right\vert \gt 1$$

$$\left\vert\,\varepsilon_f(x)\,\right\vert = 1$$

$$\left\vert\,\varepsilon_f(x)\,\right\vert < 1$$

Für eine elastische Funktion gilt daher: ändert sich das Argument um $1\%$, so ändert sich der Funktionswert um mindestens $1\%$.(Die Aussage gilt streng genommen nur für das totale Differential von $f$.)

BEISPIEL
In welchen Punkten ist $f(x)=2\,e^x$ 1-elastisch?

$$\begin{array} {rcl} \left\vert x\right\vert =1&\Rightarrow& x=1\;\vee\;x=-1 \end{array}$$

In welchen Punkten ist $f$ elastisch?

$$\begin{array} {rcl} \left\vert x\right\vert \gt 1&\Rightarr... ...ghtarrow& x\in (\,-\infty,-1\,)\cup (\,1,\infty\,) \end{array}$$

In welchen Punkten ist $f$ unelastisch?

$$\begin{array} {rcl} \left\vert x\right\vert <1&\Rightarrow&... ...1\;\wedge\;x\gt-1\\ &\Rightarrow& x\in (\,-1,1\,) \end{array}$$

BEISPIEL
Sei $q(p)$ eine elastische Nachfragefunktion, $p$ der Preis. Wir können voraussetzen, daß $p\gt$ und $q\gt$ und daß $q$ monoton fallend ist. Also gilt

$$\varepsilon_q(p)=p\cdot\frac{q'(p)}{q(p)}<-1$$

Was passiert mit dem Umsatz (= Preis $\times$ Absatz)?

$$\begin{array} {rcl} u'(p)& = & (p\cdot q(p))'\\ &=&1\cdot ... ...frac{q'(p)}{q(p)}}_{=\varepsilon_q < -1})\\ &<& 0 \end{array}$$

Das heißt, der Umsatz nimmt ab, falls wir den Preis erhöhen.

Analog erhalten wir, daß

$u'(p)\gt$, wenn $q$ unelastisch ist, und
$u'(p)=0$, wenn $q$ 1-elastisch ist.