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Eigenschaften der Determinante  

Wir fassen die Vektoren $\mathsfbf{a}_1, \mathsfbf{a}_2, \ldots, \mathsfbf{a}_n$als Spaltenvektoren einer $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}=(\mathsfbf{a}_1, \mathsfbf{a}_2, \ldots, \mathsfbf{a}_n)$ auf.

DEFINITION (DETERMINANTE)
Die  Determinante ist eine Funktion, die jeder $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}$ eine reelle Zahl $\det(\mathsfbf{A})$ zuordnet und die folgenden Eigenschaften besitzt:

(1)

die Determinante ist  linear in jeder Spalte

(a) $\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i + \mathsfbf{b}_i, \ldots)$ $=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i, \ldots) + \det(\ldots, \mathsfbf{b}_i, \ldots)$

(b) $\det(\ldots, \alpha\,\mathsfbf{a}_i, \ldots) = \alpha\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i, \ldots)$

(2)

die Determinante ist Null, falls zwei Spaltenvektoren gleich sind

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots) = 0$

(3)

die Determinante ist  normiert

$\det(\mathsfbf{I}) = 1$

Andere Schreibweise:

$$\det(\mathsfbf{A}) = \vert\mathsfbf{A}\vert$$

Die Eigenschaften (1) - (3) definieren eindeutig eine Funktion. Diese Funktion besitzt noch eine Reihe weiterer Eigenschaften, die sich aus diesen drei Grundeigenschaften herleiten lassen.

(1)

(2)

(3)

(4)

die Determinante ist alternierend

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots) = - \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)$

(5)

die Determinante ist Null, falls ein Spaltenvektor der Nullvektor ist

$\det(\ldots, \mathsfbf{o}, \ldots) = 0$

(6)

der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Spalte das Vielfache einer anderen Spalte addiert wird

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i + \alpha\,\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$ $=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$

(7)

die Spaltenvektoren von $\mathsfbf{A}$ sind genau dann linear abhängig, falls $\det(\mathsfbf{A})=0$

(8)

die Matrix $\mathsfbf{A}$ ist genau dann invertierbar, falls
$\det(\mathsfbf{A})\not=0$

(9)

die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente

$\det\pmatrix{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \cr 0 & a_{22} & a_{2... ...& \ldots & a_{3n} \cr \vdots & & & \ddots & \cr 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{nn} }$ $= a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdots a_{nn}$

(10)

beim Transponieren ändert sich der Wert der Determinante nicht, d.h. die Aussagen über Spalten gelten analog für Zeilen

$\det(\mathsfbf{A}^t)=\det(\mathsfbf{A})$

(11)

die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten

$\det(\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}) = \det(\mathsfbf{A})\cdot\det(\mathsfbf{B})$

(12)

die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante

$$\det(\mathsfbf{A}^{-1})=(\det(\mathsfbf{A}))^{-1}=\frac{1}{\det(\mathsfbf{A})}$$

BEISPIEL
ad (1a)
$\left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 2+10 & 3 \\ 4 & 5+11 & 6 \\ 7 & 8+12 ... ...} {ccc} 1 & 10 & 3 \\ 4 & 11 & 6 \\ 7 & 12 & 9 \\ \end{array} \right\vert$

ad (1b)
$\left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 3\cdot 2 & 3 \\ 4 & 3\cdot 5 & 6 \\ 7... ...ray} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{array} \right\vert$

ad (2)
$\left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 4 \\ 7 & 8 & 7 \\ \end{array} \right\vert = 0$

ad (4)
$\left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \... ...array} {ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \\ \end{array} \right\vert$

ad (6)
$\left\vert \begin{array} {ccc} 1 & 2-2\cdot 1 & 3 \\ 4 & 5-2\cdot 4 & 6 \... ...array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{array} \right\vert$

Einige Eigenschaften lassen sich leicht herleiten.

(1) + (2) $\Rightarrow$ (4):

$0 = \det(\ldots,\mathsfbf{a}_i+\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_i+\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots) + \det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$
${}+ \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots) + \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots) +\det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)$

(1) + (2) $\Rightarrow$ (5):

$\det(\ldots, \mathsfbf{o},\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)=$

$=\det(\ldots,\mathsfbf{a}_k-\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots) - \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=0-0=0$

(1) + (2) $\Rightarrow$ (6):

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i+\alpha\,\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)=$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots) +\alpha\,\det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$