Die Idee

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Die Idee

Zwei Vektoren im ${\mathbb R}^2$ spannen ein Parallelogramm auf.

Stehen die beiden Vektoren normal aufeinander, so ist der Flächeninhalt groß. Sind die beiden Vektoren linear abhängig, so ist der Flächeninhalt gleich Null.

$\begin{figure} \begin{center} \setlength {\unitlength}{1.5mm} \begin{tabular}... ...} \put(0,0){\vector(1,0){20}}\end{picture}\end{tabular}\end{center}\end{figure}$

Wir verwenden das -dimensionale Volumen für unsere Funktion zum ,,Messen`` der linearen Abhängigkeit.

Wir definieren diese Funktion indirekt durch die Eigenschaften, die wir von einem Volumen verlangen.

Für das Volumen gilt:

Multiplizieren wir einen Vektor mit einer Zahl $\alpha$ erhalten wir das $\alpha$ -fache Volumen.
Addieren wir zu einem Vektor das Vielfache eines anderen Vektors, so bleibt das Volumen konstant.
Ist ein Vektor der Nullvektor, so ist das Volumen gleich Null.
Das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge eins ist gleich eins.

$\begin{figure} \begin{center} \setlength {\unitlength}{1.5mm} \begin{tabular}... ...) \dottedline{2}(26,0)(32,24)\end{picture}\end{tabular}\end{center}\end{figure}$

Wir bezeichnen diese Funktion als Determinante.